Открытый банк заданий по теме прикладные задачи. Задания B10 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону v=4\sin\pi t (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения груза превышала 2 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Заметим, что в течение первой секунды, то есть при 0\leqslant t\leqslant1 выполняется неравенство 0\leqslant\pi t\leqslant\pi. Из этого неравенства следует, что: \sin\pi t\geqslant0.
Тогда 4\sin\pi t\geqslant2,
\sin\pi t\geqslant\frac12,
\frac{\pi}{6}\leqslant\pi t\leqslant\frac{5\pi}{6} (см. рис.),
\frac16\leqslant t\leqslant\frac56.
Значит, на первой секунде скорость движения превышала 2 см/с на протяжении \frac56-\frac16=\frac23\approx 0,67 секунды.
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и вычисляет расстояние до воды по формуле h=5t^2, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. Время падения камешков до дождя составляло 0,4 с. Определите, насколько должен подняться уровень воды в колодце после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ выразите в метрах.
Пусть h_0 — расстояние до воды до дождя, h — после дождя (в метрах). После дождя время падения t уменьшится и станет равно 0,4-0,1=0,3 с. Тогда h_0-h= 5(t_0^2-t^2)= 5(0,4^2-0,3^2)= 0,35.
Груз массой 0,4 кг колеблется на пружине. Его скорость меняется по закону v=v_0\cos\frac{2\pi t}{T}, где t — время с момента начала колебаний, T=2 с — период колебаний, v_0=0,3 м/с. Кинетическая энергия E груза измеряется в джоулях и определяется формулой E=\frac{mv^2}{2}, где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 3 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
E=\frac{m\left(v_0\cos\dfrac{2\pi t}{T}\right)^2}{2},
E=\frac{0,4\left(0,3\cos\dfrac{2\pi\cdot3}{2}\right)^2}{2}= 0,2\cdot0,09= 0,018.
Кинетическая энергия груза через 3 секунды после начала колебаний равна 0,018 Дж.
Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m=6 кг и радиусом R=12 см и двух боковых с массами M=2 кг и радиусами R+h. Момент инерции катушки относительно своей оси вращения, определяется формулой I=\frac{(m+2M)R^2}{2}+M(2Rh+h^2) и выражается в кг · см2. Определите, при каком наибольшем значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 770 кг · см2? Ответ выразите в сантиметрах.
Решим неравенство I\leqslant770 относительно h, учитывая, что m=6, R=12, M=2.
\frac{(6+2\cdot2)\cdot12^2}{2}\,+ 2(2\cdot12h+h^2)\leqslant770,
720+48h+2h^2\leqslant770,
h^2+24h-25\leqslant0,
откуда -25\leqslant h\leqslant1.
Максимальное значение h равно 1 сантиметру.
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч2. Скорость v определяется формулой v=\sqrt{2la}, где l — пройденный автомобилем путь. С каким ускорением должен двигаться автомобиль, чтобы, преодолев расстояние 0,7 километра, он приобрел бы скорость 98 км/ч. Ответ выразите в км/ч2.
v=\sqrt{2la}, v^2=2la, a=\frac{v^2}{2l}.
Подставляем в эту формулу l=0,7, v=98:
Получаем: a=\frac{98^2}{2\cdot0,7}=6860.
Итак, ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,7 километра, приобрести скорость 98 км/ч, равно 6860 км/ч2.
Автомобиль, масса которого равна m=1100 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаётся неизменным, и за это время преодолевает расстояние S = 600 метров. Сила (в ньютонах), приложенная к автомобилю в это время, равна F=\frac{2mS}{t^2}. Найдите наибольшее время за которое автомобиль преодолеет указанный путь после начала движения, если известно, что сила F, приложенная к нему, не меньше 3300 H. Ответ выразите в секундах.
Решим неравенство F\geqslant3300.
\frac{2mS}{t^2}\geqslant3300,
\frac{2\cdot1100\cdot600}{t^2}\geqslant 3300,
\frac{2\cdot100\cdot2}{t^2}\geqslant 1.
t^2\leqslant 400,
-20\leqslant t\leqslant 20.
Наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдёт 600 метров, равно 20 секундам.
Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v_0 = 12 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 4 м/с2. После начала торможения за t секунд автомобиль преодолел расстояние S=v_0t-\frac{at^2}{2} (м). Сколько секунд прошло с момента начала торможения, если за это время автомобиль проехал 16 метров?
Подставим данные задачи в формулу S=v_0t-\frac{at^2}{2}.
16=12t-\frac{4t^2}{2},
t^2-6t+8=0,
t_1=4,\,t^2=2.
С помощью формулы скорости при равнозамедленном движении v=v_0-at найдём время движения автомобиля до остановки: v=0, v_0=12 м/с, a=4 м/с2; 0=12-4t, откуда t=3. Итак, автомобиль остановится через 3 секунды после начала торможения.
Учитывая, что t\leqslant3, получим, что от момента начала торможения прошло 2 секунды.
По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна I=\frac{\varepsilon}{R+r}, где \varepsilon — ЭДС источника (в вольтах), r = 2 Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 40% от силы тока короткого замыкания Iкз = \frac{\varepsilon}{r}? Ответ выразите в омах.
Решим неравенство I\leqslant0,4\cdot Iкз при условии, что r=2 Ом.
\frac{\varepsilon}{R+r}\leqslant0,4\cdot\frac{\varepsilon}{r},
\frac{1}{R+2}\leqslant\frac{4}{10\cdot2},
\frac{1}{R+2}\leqslant\frac15,
R\geqslant3.
Итак, наименьшее сопротивление цепи, при котором сила тока будет составлять не более 40% от силы тока короткого замыкания, равно 3 Ом.
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f_0 = 280 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. В следствие движения тепловоза, частота второго гудка оказалась больше первого (эффект Доплера). Она зависит от скорости источника сигнала по закону: f(v)=\frac{f_0}{1-\dfrac vc} (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Сигналист, стоящий на платформе, следит за движением тепловоза и успешно распознает сигналы, если они отличаются не менее чем на 7 Гц. Найдите наименьшую скорость приближающегося к платформе тепловоза, если сигналист смог различить издаваемые сигналы, а скорость звука равна 328 м/с. Ответ выразите в м/с.
Решим неравенство f(v)-f_0\geqslant7, используя условие v<328.
\frac{f_0}{1-\dfrac vc}-f_0\geqslant7,
\frac{280}{1-\dfrac{v}{328}}-280\geqslant7,
\frac{1}{1-\dfrac{v}{328}}-1\geqslant\frac{1}{40},
\frac{1}{1-\dfrac{v}{328}}\geqslant\frac{41}{40},
1-\frac{v}{328}\leqslant\frac{40}{41},
\frac{v}{328}\geqslant\frac{1}{41},
v\geqslant8.
Следовательно, минимальная скорость тепловоза равна 8 м/с.
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1+8t-5t^2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?
Решим относительно t неравенство h(t)\geqslant4.
-5t^2+8t+1\geqslant4,
5t^2-8t-1\leqslant-4,
5t^2-8t+3\leqslant0.
Найдем корни уравнения 5t^2-8t+3=0:
Вычислим дискриминант: D=b^2-4ac= -8^2-4\cdot5\cdot3= 64-60=4,
t_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}= \frac{8\pm\sqrt4}{2\cdot5}= \frac{8\pm2}{10},
t_1=\frac35,\,t_2=1;
5\left ( t-\frac35 \right ) \left ( t-1 \right )\leqslant0, откуда \frac35\leqslant t\leqslant1. Мяч будет находиться на высоте не мене четырех метров в течение 1-\frac35=\frac25=0,4 секунды.
Закажите обратный звонок!