Задания по теме «Рациональные уравнения»

Автомобиль, масса которого равна m=1100 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаётся неизменным, и за это время преодолевает расстояние S = 600 метров. Сила (в ньютонах), приложенная к автомобилю в это время, равна F=\frac{2mS}{t^2}. Найдите наибольшее время за которое автомобиль преодолеет указанный путь после начала движения, если известно, что сила F, приложенная к нему, не меньше 3300 H. Ответ выразите в секундах.

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна I=\frac{\varepsilon}{R+r}, где \varepsilon — ЭДС источника (в вольтах), r = 2 Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 40% от силы тока короткого замыкания I_кз = \frac{\varepsilon}{r}? Ответ выразите в омах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f_0 = 280 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. В следствие движения тепловоза, частота второго гудка оказалась больше первого (эффект Доплера). Она зависит от скорости источника сигнала по закону: f(v)=\frac{f_0}{1-\dfrac vc} (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Сигналист, стоящий на платформе, следит за движением тепловоза и успешно распознает сигналы, если они отличаются не менее чем на 7 Гц. Найдите наименьшую скорость приближающегося к платформе тепловоза, если сигналист смог различить издаваемые сигналы, а скорость звука равна 328 м/с. Ответ выразите в м/с.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 149 МГц. Скорость погружения батискафа равна 10 м/с и вычисляется по формуле v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}, где

c = 1500 м/с — скорость звука в воде,

f_0 — частота импульсов, испускаемых локатором (в МГц),

f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц).

Определите частоту отражённого от дна сигнала. Ответ укажите в МГц.

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу m = 1440 тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной l = 16 метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву измеряется в кПа (килопаскалях) и определяется формулой p=\frac{mg}{2ls}, где

m — масса экскаватора (в тоннах),

l — длина балок (в метрах),

s — ширина балок (в метрах),

g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с²).

Определите наименьшую допустимую ширину балок, если известно, что давление p не должно быть больше 225 кПа. Ответ выразите в метрах.

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле A(\omega)=\frac{A_0\omega_p^2}{|\omega_p^2-\omega^2|}, где

\omega — частота вынуждающей силы (в с⁻¹);

A_0 — постоянное положительное значение;

\omega_p=420 с⁻¹ — резонансная частота.

Найдите максимальную частоту \omega, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A_0 не более, чем на \frac{1}{24} от A_0. Ответ выразите в c⁻¹.

Звуковой сигнал издаваемый источником распространяется в некоторой среде и регистрируется приемником. Источник и приемник начали перемещать по прямой линии навстречу друг другу, при этом частота сигнала изменилась. Частота исходного сигнала равнаf_0=250 Гц. Частота сигнала в момент перемещения источника и приемника определяется по формуле: f=f_0\frac{c+u}{c-v} (Гц), где

c — скорость распространения сигнала (в м/с);

u=20 м/с и v=5 м/с — скорости приемника и источника соответственно.

Определите максимальную скорость распространения сигнала в среде c (в м/с) при которой приемник f будет регистрировать его с частотой не менее 270 Гц?

Эхолот научно-исследовательской подводной лодки, которая вертикально погружается в воду, испускает ультразвуковые импульсы, которые имеют частоту 299 МГц. Скорость погружения не превышает 5 м/с и определяется формулой:

v= c \cdot \frac{f-f_{0}}{f+f_{0}}, где

v — скорость погружения подводной лодки;

c = 1500 м/с — скорость звука в воде;

f₀ — частота импульсов, испускаемых эхолотом (МГц);

f — частота сигнала, который отразился от дна (МГц).

Найдите максимально возможную частоту сигнала f после отражения от дна. Ответ укажите в МГц.

Собирающая линза с фокусным расстоянием f = 30 см дает четкое увеличенное изображение на экран, если выполняется условие: \frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} = \frac{1}{f}, где

d₁ – расстояние от предмета до линзы (см);

d₂ – расстояние от экрана до линзы (см);

f – фокусное расстояние (см).

Расстояние между экраном и линзой d₂ может варьироваться от 90 до 120 см.

Найдите минимальное расстояние от предмета до линзы, чтобы его изображение на экране оставалось четким. Ответ укажите в сантиметрах.