Открытый банк заданий по теме текстовые задачи. Задания B11 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Наташе надо изготовить 300 бумажных журавликов. Ежедневно она делает на одно и то же количество журавликов больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день Наташа сделала 6 журавликов. Сколько журавликов было сделано в последний день, если на всю работу потребовалось 15 дней?
Из условия следует, что количество бумажных «журавликов» ежедневно увеличивалось на одно и тоже число. Количество ежедневно сделанных бумажных «журавликов» образует арифметическую прогрессию, при этом первый член прогрессии равен 6. По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии имеем
a_1+a_2+a_3+...+a_{15}= \frac{a_1+a_{15}}{2}\cdot15= 300,
6+a_{15}=40,
a_{15}=40-6=34.
Наташа в последний день изготовила 34 бумажных «журавлика»
Два велосипедиста одновременно отправились из деревни A в деревню B, расстояние между которыми 21 км. Скорость первого велосипедиста была на 3 км/ч больше скорости второго велосипедиста. Найдите скорость второго велосипедиста, если он приехал в деревню B на 10 мин позже первого. Ответ дайте в км/ч.
Обозначим скорость второго велосипедиста через x км/ч. Тогда скорость первого (x+3) км/ч, а время первого велосипедиста на прохождение всего пути \frac{21}{x+3}ч, время второго велосипедиста, затраченное на прохождение всего пути \frac{21}{x}ч. Разница во времени равна 10 мин = \frac16часа.
Составим и решим уравнение: \frac{21}{x}-\frac{21}{x+3}=\frac16,
6(21(x+3)-21x)=x(x+3),
x^2+3x-378=0,
x_1=18, x_2=-21.
Отрицательная скорость не удовлетворяет условию задачи. Скорость второго велосипедиста равна 18 км/ч.
Коле надо посадить 350 кустов роз. Ежедневно он сажает на одно и то же количество кустов больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день он посадил 8 кустов роз. Сколько кустов было посажено в последний день, если на всю работу потребовалось 20 дней?
Из условия следует, что количество посаженных кустов роз ежедневно увеличивалось на одно и тоже число. Количество ежедневно посаженных роз образует арифметическую прогрессию, при этом первый член равен 8. По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии получаем a_1+a_2+a_3+...+a_{20}= \frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot20= 350,
8+a_{20}=35,
a_{20}=35-8=27.
Коля в последний день посадил 27 кустов роз.
Обе трубы наполняют бассейн за 6 часов, а первая труба — за 10 часов. За сколько часов наполнит бассейн вторая труба?
Объём бассейна примем за 1. Тогда за 1 час две трубы заполнят \frac16часть бассейна, первая труба за 1 час заполнит \frac{1}{10}часть бассейна. Значит, вторая труба за 1 час заполнит \frac16-\frac{1}{10}=\frac{1}{15}часть бассейна. Весь бассейн вторая труба заполнит за 1 : \frac{1}{15}=\frac{15}{1}=15часов.
Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если ёмкость объёмом 420 литров она заполняет на 15 минут дольше, чем вторая труба заполняет ёмкость объёмом 280 литров?
Пусть первая труба пропускает x литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает за одну минуту x + 2 литра. Первая труба заполняет ёмкость объёмом 420 литров за время \frac{420}{x} мин, а вторая труба заполняет ёмкость объёмом 280 литров за \frac{280}{x+2} мин, что различается на 15 минут.
Составим и решим уравнение:
\frac{420}{x}-\frac{280}{x+2}=15,
\frac{84}{x}-\frac{56}{x+2}=3,
84(x+2)-56x=3x(x+2),
28x+168=3x^2+6x,
3x^2-22x-168=0,
x_1=12, x_2=-\frac{14}{3}.
Отрицательное значение не удовлетворяет условию. Первая труба пропускает 12 литров воды в минуту.
Моторная лодка прошла против течения реки 160 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше времени. Известно, что в неподвижной воде лодка движется со скоростью 15 км/ч. Найдите скорость течения реки. Ответ дайте в км/ч.
Обозначим скорость течения реки через x км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки (15 + x) км/ч, скорость лодки против течения реки (15 - x) км/ч. Время, затраченное лодкой на путь по течению реки \frac{160}{15+x} ч, время, затраченное на путь против течения реки — \frac{160}{15-x} ч.
Составим и решим уравнение:
\frac{160}{15-x}-\frac{160}{15+x}=8,
\frac{20}{15-x}-\frac{20}{15+x}=1,
20(15+x-15+x)= (15-x)(15+x),
20\cdot2x=225-x^2,
40x=225-x^2,
x^2+40x-225=0,
x_1=5, x_2=-45.
Скорость течения положительна, она равна 5 км/ч.
Два мотоциклиста выехали одновременно из города A в город B, расстояние между которыми 171 км. За один час первый мотоциклист проезжает расстояние на 40 км больше второго мотоциклиста. Найдите скорость второго мотоциклиста, если он приехал в пункт В на 2,5 часа позже первого. Ответ дайте в км/ч.
Обозначим скорость второго мотоциклиста через x км/ч, тогда по условию скорость первого мотоциклиста (x + 40) км/ч. Время, затраченное на прохождение всего пути первым мотоциклистом, равно \frac{171}{x+40} ч. Время, затраченное на прохождение всего пути вторым мотоциклистом, равно \frac{171}{x} ч.
Составим и решим уравнение:
\frac{171}{x}-\frac{171}{x+40}=2,5,
171(x + 40) - 171x = 2,5x(x + 40),
171x+171\cdot40-171x = 2,5x^2 + 100x,
2,5x^2+100x-171\cdot40 =0,
x^2+40x-171\cdot16=0,
x_1 = 36, x_2 = -76.
Отрицательная скорость не удовлетворяет условию. Скорость второго мотоциклиста
36 км/ч.
Елена сделала вклад в банк в размере 5500 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Спустя год Наталья положила такую же сумму в этот же банк и на тех же условиях. Ещё через год Елена и Наталья одновременно закрыли вклады и забрали деньги. В результате Елена получила на 739,2 рубля больше, чем получила Наталья. Найдите, какой процент годовых начислял банк по вкладам?
Пусть процент годовых будет x, тогда через год вклад Елены составил:
5500 + 0, 01x \cdot 5500 = 5500(1 + 0,01x) рублей, а ещё через год — 5500(1 + 0,01x)^2 рублей. Вклад Натальи лежал в банке только год, потому он равен 5500(1 + 0,01x) рублей. А разность между получившимися вкладами Елены и Натальи составила 739,2 рубля.
Составим и решим уравнение:
5500(1+ 0,01x)^2-5500(1+0,01x)= 739,2,
(1+0,01x)^2-(1+0,01x)=0,1344,
x^2+100x-1344=0,
x_1=-112,\enspace x_2=12.
Банк начислял 12% годовых.
Предприниматель Петров получил в 2005 году прибыль в размере 12\,000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 110\% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Петров за 2008 год?
В 2005 году прибыль составляла 12\,000 рублей, каждый следующий год она увеличивалась на 110\%, то есть становилась 210\% = 2,1 от предыдущего года. Через три года она будет равна 12\,000 \cdot 2,1^3 = 111\,132 рубля.
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 12\% железа, второй — 28\% железа. Масса второго сплава больше массы первого на 2 кг. Из этих двух сплавов изготовили третий сплав с содержанием железа 21\%. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Обозначим массу первого сплава через x кг. Тогда масса второго сплава (x + 2) кг. Содержание железа в первом сплаве равно 0,12x кг, во втором сплаве — 0,28(x + 2) кг. Третий сплав имеет массу x + x + 2 = 2x + 2 (кг), и в нём содержание железа равно 2(x + 1) \cdot 0,21 = 0,42(x + 1) кг.
Составим и решим уравнение:
0,12x+ 0,28(x + 2) = 0,42(x+1),
6x + 14(x + 2) = 21(x + 1),
x = 7.
Третий сплав имеет массу 2 \cdot 7 + 2 = 16 (кг).
Закажите обратный звонок!