Задания по теме «Задачи на проценты»

Пусть процент годовых будет x, тогда через год вклад Елены составил:

5500 + 0, 01x \cdot 5500 = 5500(1 + 0,01x) рублей, а ещё через год — 5500(1 + 0,01x)^2 рублей. Вклад Натальи лежал в банке только год, потому он равен 5500(1 + 0,01x) рублей. А разность между получившимися вкладами Елены и Натальи составила 739,2 рубля.

Составим и решим уравнение:

5500(1+ 0,01x)^2-5500(1+0,01x)= 739,2,

(1+0,01x)^2-(1+0,01x)=0,1344,

x^2+100x-1344=0,

x_1=-112,\enspace x_2=12.

Банк начислял 12% годовых.

В 2005 году прибыль составляла 12\,000 рублей, каждый следующий год она увеличивалась на 110\%, то есть становилась 210\% = 2,1 от предыдущего года. Через три года она будет равна 12\,000 \cdot 2,1^3 = 111\,132 рубля.

Обозначим массу первого сплава через x кг. Тогда масса второго сплава (x + 2) кг. Содержание железа в первом сплаве равно 0,12x кг, во втором сплаве — 0,28(x + 2) кг. Третий сплав имеет массу x + x + 2 = 2x + 2 (кг), и в нём содержание железа равно 2(x + 1) \cdot 0,21 = 0,42(x + 1) кг.

Составим и решим уравнение:

0,12x+ 0,28(x + 2) = 0,42(x+1),

6x + 14(x + 2) = 21(x + 1),

x = 7.

Третий сплав имеет массу 2 \cdot 7 + 2 = 16 (кг).

Цена телевизора первоначально была 50 000 руб. Через квартал она стала 50\,000-50\,000\cdot0,01x = 50\,000(1-0,01x) рублей, где x — количество процентов, на которые уменьшается ежеквартально цена телевизора. Через два квартала его цена стала

50\,000(1-0,01x)(1-0,01x)=50\,000(1-0,01x)^2.

Составим и решим уравнение:

50\,000(1-0,01x)^2=41\,405,

(1-0,01x)^2=0,8281,

1-0,01x=0,91,

x=9.

Итак, на 9 процентов уменьшалась цена телевизора ежеквартально.

В 2006 году число жителей посёлка выросло на 6%, т.е. стало 106%, что равно 55\,000 \cdot 1,06 = 58\,300 (жителей). В 2007 году число жителей посёлка выросло на 10% (стало 110%) по сравнению с 2006 годом, т.е. число жителей посёлка стало 58\,300 \cdot 1,1 = 64\,130 человек.

В 3 литрах 14%-ного водного раствора содержится 3\cdot0,14=0,42 л. некоторого вещества. Добавили 4 литра воды, стало 7 литров раствора. В этих 7 литрах нового раствора — 0,42 л некоторого вещества. Найдём концентрацию нового раствора: 0,42:7\cdot100=6%.

Первая форма — 150\cdot20:100=30 (млн руб.).

Вторая фирма — 22,5 (млн руб.).

Третья фирма — 0,3\cdot150=45 (млн руб.).

Четвертая фирма — 150-(30+22,5+45)=52,5 (млн руб.).

Часть уставного капитала, который составляет взнос четвертой фирмы: \frac{52,5}{150}=0,35.

Найдем сумму от прибыли, причитающуюся четвертой фирме: 100\cdot0,35=35 (млн руб.).

Пусть x г было взято 15%-го раствора, тогда (750-x) г было взято 25%-го раствора.

\frac{x\cdot15}{100}=(0,15x) г кислоты содержал 15%-й раствор.

\frac{(750-x)\cdot25}{100}=(187,5-0,25x) г кислоты содержал 25%-й раствор.

В результате смешивания получили 20%-й раствор, который содержал \frac{750\cdot20}{100}=150 г кислоты.

Составим и решим уравнение.

0,15x+187,5-0,25x=150,

0,1x=37,5,

x=375.

375 г — масса 15%-го раствора.

Пусть в первом сплаве концентрация серебра составляет x₁%, во втором – x₂%. Соответственно в первом сплаве находится 80x₁ г серебра, а во втором – 70x₂ г.

При сплавлении металлов образуется третий сплав массой 150 г, который содержит x₁ + x₂ г серебра. По условию задачи, концентрация серебра в нем составляет 63%, т.е. масса серебра равна 0,63·150. Составим уравнение:

80x₁ + 70x₂ = 0,63·150

При сплавлении равных масс металлов, концентрация серебра в новом металле составляет 65%. Т.е.:

x₁ + x₂ = 2·0,65

Составляем и решаем систему уравнений:

\begin{cases} 80 x_1 + 70 x_2 = 0,63 \cdot 150\\ x_1 + x_2=2 \cdot 0,65\end{cases}

\begin{cases} 80x_1+70x_2=94,5\\ x_1 + x_2= 1,3 \end{cases}

Из второго уравнения выразим x₂:

x₂ = 1,3 − x₁

Подставим это значение в первое уравнение системы:

80x₁ + 70x₂ = 94,5

80x₁ + 70(1,3 − x₁) = 94,5

80x₁ + 91 − 70x₁ = 94,5

10x₁ = 3,5

x₁ = 0,35

Как указывалось выше, в первом сплаве содержится 80x₁ г серебра. Вычисляем:

80·x₁ = 80·0,35 = 28 г серебра содержится в 80 г сплава.

Пусть x – масса первого сплава. Тогда масса второго сплава равна 150 − x. В первом сплаве содержится 25% никеля, т.е 0,25·x, а во втором 30% никеля, т.е. 0,3 \cdot (150 - x). Третий сплав имеет массу 150 кг и содержит массы двух сплавов с содержанием никеля 28%, т.е. 0,28 \cdot 150. Зная эти значения, можем составить уравнение:

0,25x+0,3\cdot (150-x)=0,28\cdot 150

0,25x+45-0,3x=42

0,3x-0,25x=45-42

0,05x=3

x=60

Масса первого сплава равна 60 кг. Масса второго равна 150 − 60 = 90 кг. Разница в весе сплавов составляет 90 − 60 = 30 кг.