Задания по теме «Задачи на совместную работу»

Объём бассейна примем за 1. Тогда за 1 час две трубы заполнят \frac16часть бассейна, первая труба за 1 час заполнит \frac{1}{10}часть бассейна. Значит, вторая труба за 1 час заполнит \frac16-\frac{1}{10}=\frac{1}{15}часть бассейна. Весь бассейн вторая труба заполнит за 1 : \frac{1}{15}=\frac{15}{1}=15часов.

Пусть первая труба пропускает x литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает за одну минуту x + 2 литра. Первая труба заполняет ёмкость объёмом 420 литров за время \frac{420}{x} мин, а вторая труба заполняет ёмкость объёмом 280 литров за \frac{280}{x+2} мин, что различается на 15 минут.

Составим и решим уравнение:

\frac{420}{x}-\frac{280}{x+2}=15,

\frac{84}{x}-\frac{56}{x+2}=3,

84(x+2)-56x=3x(x+2),

28x+168=3x^2+6x,

3x^2-22x-168=0,

x_1=12, x_2=-\frac{14}{3}.

Отрицательное значение не удовлетворяет условию. Первая труба пропускает 12 литров воды в минуту.

Весь заказ примем за 1, тогда \frac19 — часть работы, выполненная первым рабочим за 1 час, \frac16 — часть работы, выполненная вторым рабочим за 1 час. Тогда часть работы, выполненная двумя рабочими за 1 час равна \frac19+\frac16=\frac{5}{18}. Всю работу оба рабочих выполняют за 1:\frac{5}{18}=\frac{18}{5}=3,6 часа.

Пусть x деталей делает второй рабочий за один час. Тогда первый рабочий за один час делает (x+2) деталей. Время, за которое первый рабочий выполнит заказ на изготовление 180 деталей, равно \frac{180}{x+2}ч, второй рабочий \frac{180}{x}ч.

Составим и решим уравнение:

\frac{180}{x}-\frac{180}{x+2}=3,

180(x+2-x)=3x(x+2),

120=x^2+2x,

x^2+2x-120=0

x_1=-12,\,x_2=10.

Отрицательное значение не удовлетворяет условию. Второй рабочий делает 10 деталей в час.

Примем объем работы за единицу. Пусть x — количество дней, за которое необходимо выполнить всю работу Виктору; за y дней работу выполнит Алексей, Андрей выполнит всю работу за z дней; тогда \frac{1}{x} — производительность Виктора, \frac{1}{y} — производительность Алексея, \frac{1}{z} — производительность Андрея.

По первому условию Виктор и Алексей сделают всю работу за 8 дней, значит, их общая производительность \frac18. Составим уравнение \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac18.

По второму условию Виктор и Андрей сделают всю работу за 8 дней. Значит, их общая производительность \frac18. Составим уравнение \frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac18.

По третьему условию Андрей и Алексей выполнят всю работу за 12 дней. Значит, их общая производительность \frac{1}{12}. Составим уравнение \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{12}.

Получим систему уравнений:

\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac18,\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac18,\\ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{12}; \end{cases}

2\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=\frac18+\frac18+\frac{1}{12},

2\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=\frac13,

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac16,

1:\frac16=6 (дней).

Итак, всю работу Виктор, Алексей и Андрей сделают за 6 дней.

Пусть x — производительность труда первого маляра, y — производительность труда второго маляра. Тогда x+y - производительность труда обоих маляров при совместной работе. Обозначив всю проделанную работу по покраске стен за 1, получим, что первый маляр проделает эту работу в одиночку за \frac{1}{x} дней, второй маляр — за \frac{1}{y} дней, а два маляра, работая вместе, — за \frac{1}{x+y} дней. Составим и решим систему уравнений

\begin{cases} \frac{1}{x+y}=15 \\ \frac{1}{x}=20; \end{cases} \begin{cases} y=\frac{1}{15}-\frac{1}{20}, \\ x=\frac{1}{20}; \end{cases}

откуда y=\frac{1}{60}, \frac{1}{y}=60 дней. Таким образом, второй маляр, работая самостоятельно, выполнит всю работу за 60 дней.

Допустим, что второй рабочий за день способен обработать x деталей. В это время первый сделает x – 1 деталь. Время, которое нужно первому рабочему на то, чтобы выточить 420 деталей, равно \frac{420}{x-1} дней, второй же выточит 252 детали за \frac{252}{x} дней.

С учетом того, что на выполнение указанной работы первому рабочему нужно на 9 дней больше, чем второму, получаем уравнение:

\frac{420}{x-1} - \frac{252}{x}=9

Решаем его относительно x:

\frac{420}{x-1} - \frac{252}{x}=9 \cdot x(x-1)

420 \cdot x-252 \cdot (x-1)=9x \cdot (x-1)

9 \cdot x^2-9 \cdot x-420 \cdot x+252 \cdot x-252=0

9 \cdot x^2-177 \cdot x-252=0|:3

3 \cdot x^2-59 \cdot x-84=0

D = b^2 - 4ac = (-59)^2 -4\cdot 3\cdot (-84)=3481+1008=4489

x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2 \cdot a}=\frac{59-67}{6}=-\frac{8}{6}

x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2 \cdot a}=\frac{59+67}{6}=\frac{126}{6}=21

Количество деталей в час может быть только положительным числом, поэтому единственный ответ: x₂ = 21 деталь делает второй рабочий за рабочий день.

Обозначим за x – количество вопросов в тесте. Тогда:

\frac{x}{12} – общее время решения всего теста Оли;

\frac{x}{21} – общее время решения всего теста Вити;

Мы знаем, что Оля решила тест на 105 (т.е. \frac74 часа) минут позже Вити, значит верно уравнение:

\frac{x}{12}-\frac{x}{21}=\frac{7}{4}

\frac{x}{28}=\frac{7}{4}

x=\frac{7 \cdot 28}{4}=49

Значит тест содержит 49 вопросов.

Пусть x – пропускная способность первой трубы. Тогда пропускная способность второй равна x + 8 литров. Первая труба заполняет бассейн объемом 180 литров за время \frac{180}{x}, соответственно вторая труба заполняет его за время \frac{180}{x+8}. Мы знаем, что вторая труба заполняет бассейн на 8 минут быстрее первой, поэтому можем составить уравнение:

\frac{180}{x}-\frac{180}{x+8}=8

180(x+8)-180x=8x(x+8)

180x+180\cdot 8-180x=8x^2+64x

8x^2+64x-180\cdot 8=0

x^2+8x-180=0

Данное квадратное уравнение имеет два решения. Найдем дискриминант:

D = b^2-4ac=64-4\cdot1\cdot(-180)=784

x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8\pm 28}{2}

x_1=10;\enspace x_2=-18

Так как пропускная способность воды не может быть отрицательной, то правильным ответом будет 10 литров