Задание №58
Условие
Собирающая линза с фокусным расстоянием f = 30 см дает четкое увеличенное изображение на экран, если выполняется условие: \frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} = \frac{1}{f}, где
d1 – расстояние от предмета до линзы (см);
d2 – расстояние от экрана до линзы (см);
f – фокусное расстояние (см).
Расстояние между экраном и линзой d2 может варьироваться от 90 до 120 см.
Найдите минимальное расстояние от предмета до линзы, чтобы его изображение на экране оставалось четким. Ответ укажите в сантиметрах.
Решение
Выразим d1 из соотношения, при выполнении которого увеличенное изображение будет чётким:
\frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} = \frac{1}{f}
\frac{1}{d_{1}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_{2}}
Приводим правую часть к общему знаменателю и выражаем d1:
\frac{1}{d_{1}} = \frac{d_{2}-f}{f\cdot d_{2}}
d_{1} = \frac{f\cdot d_{2}}{d_{2}-f}
Определим, какое расстояние d1 будет при граничных значениях d2 (d2 = 90 см и d2 = 120 см) и найдем среди них наименьшее. Фокусное расстояние линзы f = 30 см.
Для d2 = 120 см получим:
d_{1} = \frac{30 \cdot 120}{120-30} = \frac{30 \cdot 120}{90} = 40 см
Для d2 = 90 см:
d_{1} = \frac{30 \cdot 90}{90-30} = \frac{30 \cdot 90}{60} = 45 см
Наименьшее из них – 40 см.