Задания по теме «Исследование произведений»

Найдём производную исходной функции по формуле производной произведения y'= (7x^2-56x+56)'e^x\,+ (7x^2-56x+56)\left(e^x\right)'= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Вычислим нули производной: y'=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0,  x_2=6.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на заданном отрезке.

Из рисунка видно, что на отрезке [-3; 0] исходная функция возрастает, а на отрезке [0; 2] — убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке [-3; 2] достигается при x=0 и равно y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.

Будем находить точку минимума функции с помощью производной. Найдём производную заданной функции, пользуясь формулами производной произведения, производной x^\alpha и e^x:

y'(x)= \left((x+8)^2\right)'e^{x+52}+(x+8)^2\left(e^{x+52}\right)'= 2(x+8)e^{x+52}+(x+8)^2e^{x+52}= (x+8)e^{x+52}(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^{x+52}.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции. e^{x+52}>0 при любом x. y'=0 при x=-8,  x=-10. 

Из рисунка видно, что функция y=(x+8)^2e^{x+52} имеет единственную точку минимума x=-8.

Найдём производную исходной функции по формуле производной произведения

y'= (5x^2-70x+70)'e^{x-12}\,+ (5x^2-70x+70)\left(e^{x-12}\right)'= (10x-70)e^{x-12}\,+ (5x^2-70x+70)e^{x-12}= (5x^2-60x)e^{x-12}= 5x(x-12)e^{x-12}.

Вычислим нули производной: y'=0;

5x(x-12)e^{x-12}=0,

x_1=0,  x_2=12.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на заданном отрезке.

Из рисунка видно, что на отрезке [10; 12] исходная функция убывает, а на отрезке [12; 15] — возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке [10; 15] достигается при x=12 и равно y(12)= (5\cdot 12^2-70\cdot 12+70)e^{12-12}= -50.

Будем находить точку максимума функции с помощью производной. Найдём производную заданной функции, пользуясь формулами производной произведения, производной x^\alpha и e^x:

y'(x)= \left((x+3)^2\right)'e^{x-2016}+(x+3)^2\left(e^{x-2016}\right)'= 2(x+3)e^{x-2016}+(x+3)^2e^{x-2016}= (x+3)e^{x-2016}(2+x+3)= (x+3)(x+5)e^{x-2016}.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Так как e^{x-2016}>0 для любого x, то y'=0 при x=-3,  x=-5.

Из рисунка видно, что функция y=(x+3)^2e^{x-2016} имеет единственную точку максимума x=-5.

Найдём производную исходной функции по формуле производной произведения:

y'= (x-11)'e^{x-10}+(x-11)\left(e^{x-10}\right)'= e^{x-10}+(x-11)e^{x-10}= (x-10)e^{x-10}.

Вычислим нули производной: y'=0;

(x-10)e^{x-10}=0;

x=10.

Заметим, что при x<10 выполняется неравенство y'<0, при x>10 выполняется неравенство y'>0. Значит, функция y=(x-11)e^{x-10} возрастает при x>10 и убывает при x<10.

Значение x=10 принадлежит отрезку [8; 14], наименьшее значение на указанном отрезке достигается при x=10 и равно y(10)= (10-11)e^{10-10}= -1.

Найдём производную исходной функции, воспользовавшись формулой производной произведения:

y'(x)= (x-9)'e^{2x+5}+(x-9)\left(e^{2x+5}\right)'= e^{2x+5}+(x-9)\cdot2e^{2x+5}= (1+2x-18)e^{2x+5}= (2x-17)e^{2x+5}.

y'(x)=0 при x=8,5.

При этом:

y'(x)<0 при x<8,5,

y'(x)>0 при x>8,5.

Таким образом, x=8,5 является единственной точкой минимума.

Найдём производную исходной функции по формуле производной произведения

y'= (51-x)'e^{x-50}+(51-x)\left ( e^{x-50} \right )'= -e^{x-50}+(51-x)e^{x-50}= (50-x)e^{x-50}.

Найдём нули производной: y'=0.

(50-x)e^{x-50}=0,

x=50.

Заметим, что при x<50 выполняется неравенство y'>0, при x>50 выполняется неравенство y'<0. Значит, функция y=(51-x)e^{x-50} возрастает при x<50 и убывает при x>50.

Значение x=50 принадлежит отрезку [42; 70], наибольшее значение на указанном отрезке достигается при x=50 и равно y(50)=(51-50)e^{50-50}=1.

Найдём производную исходной функции, воспользовавшись формулой производной произведения:

y'(x)= (8-x)'e^{x+12}+(8-x)\left ( e^{x+12} \right )'= -e^{x+12}+(8-x)e^{x+12}= (7-x)e^{x+12}.

y'(x)=0 при x=7. При этом y'(x)>0 при x<7, y'(x)<0 при x>7.

Таким образом, x=7 является единственной точкой максимума.

Вычислим производную функции.

y'=(x-1)'\cdot e^{2x}+(x-1)\cdot(e^{2x})'= e^{2x}+2(x-1)\cdot e^{2x}= (2x-1)\cdot e^{2x}

Найдем точки экстремума, в которых производная функции обращается в нуль.

(2x-1)\cdot e^{2x}=0

x=0,5

На числовой оси расставим знаки производной и посмотрим как ведет себя функция.

При переходе через точку x = 0,5 производная меняет знак с минуса на плюс. Значит x = 0,5 – точка минимума функции.

Вычислим производную функции.

y'=(2x+12)\cdot e^{-3-x}+(x^2+12x+33)\cdot e^{-3-x}\cdot(-1)

y'=e^{-3-x}(2x+12-x^2-12x-33)

y'=(-x^2-10x-21)e^{-3-x}

y'=-(x^2+10x+21)e^{-3-x}

Найдем точки экстремума, в которых производная функции обращается в нуль.

(x^2+10x+21)e^{-3-x}=0

Решим квадратное уравнение x^2+10x+21=0:

D=100-84=16

x_{1,2}=\frac{-10\pm4}{2}

x_1=-3; \enspace x_2=-7

На числовой оси отложим граничные точки отрезка, точки экстремума и посмотрим как ведет себя функция.

При переходе через точку x = −3 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = −3 – точка максимума функции.