Задание №1129

Найдём производную исходной функции по формуле производной произведения

y'= (5x^2-70x+70)'e^{x-12}\,+ (5x^2-70x+70)\left(e^{x-12}\right)'= (10x-70)e^{x-12}\,+ (5x^2-70x+70)e^{x-12}= (5x^2-60x)e^{x-12}= 5x(x-12)e^{x-12}.

Вычислим нули производной: y'=0;

5x(x-12)e^{x-12}=0,

x_1=0,  x_2=12.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на заданном отрезке.

Из рисунка видно, что на отрезке [10; 12] исходная функция убывает, а на отрезке [12; 15] — возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке [10; 15] достигается при x=12 и равно y(12)= (5\cdot 12^2-70\cdot 12+70)e^{12-12}= -50.