Задание №130
Условие
Найдите наибольшее значение функции y=(x^2+12x+33)e^{-3-x} на отрезке [−7; 0].
Решение
Вычислим производную функции.
y'=(2x+12)\cdot e^{-3-x}+(x^2+12x+33)\cdot e^{-3-x}\cdot(-1)
y'=e^{-3-x}(2x+12-x^2-12x-33)
y'=(-x^2-10x-21)e^{-3-x}
y'=-(x^2+10x+21)e^{-3-x}
Найдем точки экстремума, в которых производная функции обращается в нуль.
(x^2+10x+21)e^{-3-x}=0
Решим квадратное уравнение x^2+10x+21=0:
D=100-84=16
x_{1,2}=\frac{-10\pm4}{2}
x_1=-3; \enspace x_2=-7
На числовой оси отложим граничные точки отрезка, точки экстремума и посмотрим как ведет себя функция.
.png)
При переходе через точку x = −3 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = −3 – точка максимума функции.
Ответ
-3