Задания по теме «Иррациональные функции»

Область определения: x^2+60x+1000 \geqslant 0;

x^2 +2\cdot30x+30^2+(1000-30^2)= (x+30)^2+100>0 для всех вещественных значений x. Заметим, что функция y=\sqrt t строго возрастает на множестве t\geqslant0. Отсюда точка минимума исходной функции совпадёт с точкой минимума x_0 функции x^2+60x+1000. Точка минимума квадратичной функции с положительным старшим коэффициентом совпадает с абсциссой вершины соответствующей параболы. Вершина параболы имеет абсциссу x_0=-\frac{60}{2\cdot1}=-30.

Область определения: 102+16x-x^2 \geqslant 0. Найдём производную исходной функции:

y'= \frac{(102+16x-x^2)'}{2\sqrt{102+16x-x^2}}= \frac{16-2x}{2\sqrt{102+16x-x^2}}.

y'=0 при 16-2x=0,

x=8.

Заметим, что при x=8 выполняется неравенство 102+16\cdot 8-8^2=166>0, отсюда x=8 принадлежит ОДЗ и функция дифференцируема в этой точке. При этом для значений x, принадлежащих ОДЗ, y'>0 при x<8 и y'<0 при x>8. Таким образом, x=8 — единственная точка максимума рассматриваемой функции.

ОДЗ: x \geqslant 0. Преобразуем исходную функцию y=x\cdot x^\tfrac12-9x+724;

y=x^{1+\tfrac12}-9x+724;

y=x^{\tfrac32}-9x+724.

Найдём производную: y'=\frac32x^\tfrac12-9. Вычислим нули производной:

\frac32x^\tfrac12-9=0;

x^\tfrac12=6;

x=36.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что точка x=36 является единственной точкой минимума заданной функции.

Для неотрицательных t функция \sqrt t возрастает, поэтому наибольшее значение выражения \sqrt t будет при наибольшем значении t.

Заметим, что -500-60x-x^2= -(x^2+60x+500) = -(x^2+2\cdot30x+30^2+(500-30^2))= -(x^2+60x+900)+400= -(x+30)^2+400\leqslant400.

При этом очевидно, что -(x+30)^2+400=400 при x=-30.

Отсюда \sqrt{-500-60x-x^2}\leqslant \sqrt{400}=20.

При x=-30 имеем \sqrt{-500-60\cdot(-30)-(-30)^2}= \sqrt{400}= 20.

Таким образом, наибольшее значение функции равно 20.

ОДЗ x\geqslant0. Преобразуем исходную функцию y=x\cdot x^{\tfrac12}-6x+2000,

y=x^{1+\tfrac12}-6x+2000,

y=x^{\frac32}-6x+2000.

Найдём производную: y'=\frac32x^{\tfrac12}-6.

Вычислим нули производной: \frac32x^{\tfrac12}-6=0,

x^{\tfrac12}=4,

x=16.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции

Из рисунка видно, что на отрезке [2; 16] исходная функция убывает, а на отрезке [16; 30] — возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке [2; 30] достигается при x=16 и равно y(16)= 16\sqrt{16}-6\cdot16+2000= 64-96+2000=1968.

Для неотрицательных t функция \sqrt t возрастает, значит, \sqrt t наименьшее при наименьшем значении t. Преобразуем выражение под знаком корня.

Заметим, что x^2+40x+625= x^2+2\cdot20x+20^2+(625-20^2)= (x^2+40x+400)+225= (x+20)^2+225\geqslant225, причём при x=-20 достигается равенство.

Отсюда \sqrt{x^2+40x+625}\geqslant\sqrt{225}=15. При x=-20 имеем \sqrt{(-20)^2+40\cdot(-20)+625}=\sqrt{(-20+20)^2+225}=\sqrt{225}=15.

Таким образом, наименьшее значение функции равно 15.

Выполним преобразования и вычислим производную.

y=11+24x-2x^{\tfrac32}

y'=24-3\sqrt{x}

Найдем точки, в которых производная функции обращается в нуль.

24-3\sqrt{x}=0

\sqrt{x}=8

x=64

На отрезке [63; 65] лежит только одна точка 64.

На числовой оси отложим граничные точки отрезка и точку экстремума

При переходе через точку x = 64 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = 64 – точка максимума функции.

Найдем наибольшее значение функции в точке x = 64.

y(64)=11+24\cdot64-2\cdot 64\sqrt{64}=523

Наибольшее значение функции равно 523.

Выполним преобразования и вычислим производную.

y=\frac23x^{\tfrac32}-6x-5

y'=x^{\tfrac12}-6=\sqrt{x}-6

Уравнение производной имеет один единственный корень x = 36.

На числовой оси расставим знаки производной и посмотрим как ведет себя функция.

При переходе через точку x = 36 производная меняет знак с минуса на плюс. Значит x = 36 – точка минимума функции.

Найдем наименьшее значение функции в точке x = 36.

y(36)=\frac23\cdot 36\cdot6-216-5=-77

Наименьшее значение функции равно −77.

Вычислим производную функции.

y'=\frac{1}{2\sqrt{x^2+10x+106}}\cdot (x^2+10x+106)'

y'=\frac{2x+10}{2\sqrt{x^2+10x+106}}=\frac{x+5}{\sqrt{x^2+10x+106}}

Уравнение производной имеет один единственный корень x = −5.

На числовой оси расставим знаки производной и посмотрим как ведет себя функция в точке -5.

Из рисунка следует, что x = −5 – единственная критическая точка функции и это точка минимума.

Для нахождения наименьшего значения функции, необходимо вычислить ее в полученной точке экстремума.

y(-5)=\sqrt{(-5)^2+10\cdot(-5)+106}=\sqrt{81}=9