Задание №953
Условие
Найдите наименьшее значение функции y=x\sqrt x-6x+2000 на отрезке [2; 30].
Решение
ОДЗ x\geqslant0. Преобразуем исходную функцию y=x\cdot x^{\tfrac12}-6x+2000,
y=x^{1+\tfrac12}-6x+2000,
y=x^{\frac32}-6x+2000.
Найдём производную: y'=\frac32x^{\tfrac12}-6.
Вычислим нули производной: \frac32x^{\tfrac12}-6=0,
x^{\tfrac12}=4,
x=16.
Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции
.png)
Из рисунка видно, что на отрезке [2; 16] исходная функция убывает, а на отрезке [16; 30] — возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке [2; 30] достигается при x=16 и равно y(16)= 16\sqrt{16}-6\cdot16+2000= 64-96+2000=1968.
Ответ
1968
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.