Задание №118
Условие
Найдите наименьшее значение функции y=\frac23x\sqrt{x}-6x-5 на отрезке [9; 36].
Решение
Выполним преобразования и вычислим производную.
y=\frac23x^{\tfrac32}-6x-5
y'=x^{\tfrac12}-6=\sqrt{x}-6
Уравнение производной имеет один единственный корень x = 36.
На числовой оси расставим знаки производной и посмотрим как ведет себя функция.
.png)
При переходе через точку x = 36 производная меняет знак с минуса на плюс. Значит x = 36 – точка минимума функции.
Найдем наименьшее значение функции в точке x = 36.
y(36)=\frac23\cdot 36\cdot6-216-5=-77
Наименьшее значение функции равно −77.
Ответ
-77