Задания по теме «Показательные неравенства»

3^{2x^2+7}+3^{x^2+4x+3}-4\cdot 3^{8x}\geqslant 0, разделим обе части неравенства на 3^{8x}\neq 0, 3^{8x}>0; неравенство примет вид 3^{2x^2-8x+7}+3^{x^2-4x+3}\geqslant 0, введем обозначение 3^{x^2-4x+3}=t, t>0, получим: 3t^2+t-4\geqslant 0. Найдем корни уравнения 3t^2+t-4=0,  t_1=-\frac43,  t_2=1. Решением неравенства 3t^2+t-4\geqslant0 являются промежутки \left( -\infty ; -\frac43\right] и \left[ 1; +\infty \right). Так как t>0, то 3^{x^2-4x+3}\geqslant 1, 3^{x^2-4x+3}\geqslant 3^0, x^2-4x+3\geqslant 0, x\leqslant 1 и x\geqslant 3. То есть решениями этого неравенства являются x\in(-\infty ; 1]\cup [3;+\infty ).

(-\infty ; 1]\cup [3;+\infty ).

3^{3x}-3^x\cdot 2^{2x}\cdot 3+3^{2x}\cdot 2^x-3\cdot 2^{3x} \geqslant 0.

Разделим обе части неравенства на 2^{3x}, 2^{3x} \neq 0, 2^{3x}>0, неравенство примет вид \frac{3^{3x}}{2^{3x}}-\frac{3^x\cdot 2^{2x}\cdot 3}{2^{3x}}\,\,\,+ \frac{3^{2x}\cdot 2^x}{2^{3x}}-\frac{3\cdot 2^{3x}}{2^{3x}}\geqslant 0,

\left( \frac32\right) ^{3x}-3\cdot \left( \frac32\right) ^x+\left( \frac32\right) ^{2x}-3\geqslant 0, введем обозначение \left( \frac32\right) ^x=t, t>0.

t^3+t^2-3t-3\geqslant 0,

t^2(t+1)-3(t+1)\geqslant 0,

(t+1)(t^2-3)\geqslant 0,

t\in[-\sqrt 3;-1]\cup [\sqrt 3;+\infty ), но t>0, следовательно, решением неравенства t^3+t^2-3t-3\geqslant 0 является t\in[\sqrt 3;+\infty ).

\left( \frac32\right) ^x=t, тогда \left( \frac32\right) ^x\geqslant \sqrt 3.

x\geqslant \log_{\tfrac32}\sqrt 3=\frac{\dfrac12\log_33}{\log_33-\log_32},

x\geqslant \frac1{2(1-\log_32)}.

x \in\left[ \frac1{2(1-\log_32) }; +\infty \right).

\left[ \frac1{2(1-\log_32) }; +\infty \right).

Введём обозначение 7^x=t,\, t > 0. Неравенство примет вид t^{2}-7t+3|t-5| \geq 6.

\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} t^{2}-7t+3(t-5) \geq 6, \\ t \geq 5; \end{cases} \\ \begin{cases} t^{2}-7t+3(-t+5) \geq 6, \\ 0 < t \leq 5; \end{cases} \end{array}\right.

\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} t^{2}-4t-21 \geq 0, \\ t \geq 5; \end{cases} \\ \begin{cases} t^{2}-10t+9 \geq 0, \\ 0 < t \leq 5; \end{cases} \end{array}\right.

\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} t \leq -3; t \geq 7, \\ t \geq 5; \end{cases} \\ \begin{cases} t \leq 1; t \geq 9, \\ 0 < t \leq 5; \end{cases} \end{array}\right.

\left[\!\!\begin{array}{l} t \geq 7, \\ 0 < t \leq 1. \end{array}\right.

1) 0 < 7^{x} \leq 1,\,x \leq 0.

2) 7^{x} \geq 7,\, x \geq 1.

Значит, объединением решений будут промежутки (-\infty ;0] и [1;+\infty ).

(-\infty;0]\cup[1;+\infty)

С помощью замены 5^{x}=t, где t > 0, приведем неравенство к виду \frac{4t-17}{t-4}+\frac{10t-13}{2t-3} > \frac{8t-30}{2t-7}+\frac{5t-4}{t-1}.

Выделим целую часть в каждом слагаемом:

4-\frac{1}{t-4}+5+\frac{2}{2t-3} > 4-\frac{2}{2t-7}+5+\frac{1}{t-1},

\frac{2}{2t-3}-\frac{1}{t-4}+\frac{2}{2t-7}-\frac{1}{t-1} > 0.

После приведения к общему знаменателю и упрощению получим:

\frac{2t-5}{(2t-3)(t-4)(2t-7)(t-1)} < 0.

Решим неравенство методом интервалов

С учётом условия t > 0, получим

0 < t < 1,  \frac{3}{2} < t < \frac{5}{2},  \frac{7}{2} < t < 4.

Возвращаясь к переменной x, получим, что 5^{x} < 1,  \frac{3}{2} < 5^{x} < \frac{5}{2},  \frac{7}{2} < 5^{x} < 4 откуда x < 0,  \log_{5}\frac{3}{2} < x < \log_{5}\frac{5}{2},  \log_{5}\frac{7}{2} < x < \log_{5}4.

(-\infty;0)\,\cup \left (\log_{5}\frac{3}{2}; \log_{5}\frac{5}{2}\right )\,\cup \left (\log_{5}\frac{7}{2}; \log_{5}4\right)

\frac{3^{2x}+2 \cdot 3^{x}+2}{3^{2x}+2 \cdot 3^{x}} \leq 4+\frac{1}{3^{x}}-\frac{3 \cdot 3^{x}+1}{3^{x}-1}.

Обозначим 3^{x}=t,\, t > 0. Неравенство примет вид:

\frac{t^{2}+2t+2}{t^{2}+2t} \leq 4 +\frac{1}{t}-\frac{3t+1}{t-1},

1+\frac{2}{t(t+2)}-4-\frac{1}{t}+\frac{3t+1}{t-1} \leq 0,

\frac{3(t+3)t}{t(t-1)(t+2)} \leq 0. Воспользуемся условием t > 0.

Так как при этом t+3 > 0 и t+2 > 0, то неравенство верно при t-1 < 0, то есть 0 < t < 1. Тогда 0 < 3^{x} < 1, x < 0.

(-\infty ; 0)

Пусть \left | 2^{x}-3 \right |=t, тогда получаем неравенство t \geq 4+\frac{1}{6-t}. Преобразуем последнее неравенство: 4-t+\frac{1}{6-t} \leq 0; \frac{t^{2}-10t+25}{6-t} \leq 0; \frac{(t-5)^{2}}{6-t} \leq 0.

Используя метод интервалов, найдем решения неравенства с переменной t: t=5 или t > 6. Отсюда \left | 2^{x}-3 \right |=5 или \left | 2^{x}-3 \right | > 6.

Пусть 2^{x}=a, решим уравнение и неравенство с модулем. Из уравнения \left | a-3 \right |=5 получаем \left[\!\!\begin{array}{l} a-3 = 5, \\a - 3= -5; \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\!\!\begin{array}{l} a = 8, \\ a = -2. \end{array}\right.

Далее \left[\!\!\begin{array}{l} 2^{x}=8 \\ 2^{x}=-2; \end{array}\right. \Leftrightarrow x=3. Модуль \left | a-3 \right | есть расстояние на координатной оси от точки a до точки 3.

Для решения неравенства \left | a-3 \right | > 6 необходимо найти такие точки, расстояние от которых до точки 3 больше 6. Справа от точки 3 расположена точка 9 на расстоянии 6 единиц, а слева — точка (-3). Поэтому из неравенства

\left | a-3\right | > 6 получаем a < -3 или a > 9. Далее \left[\!\!\begin{array}{l} 2^{x} < -3, \\ 2^{x} > 9; \end{array}\right.\: \Leftrightarrow \: 2^{x} > 2^{\log_{2}9} \Leftrightarrow \: x > \log _{2}9.

\left \{3\right \} \cup (\log_{2}9; +\infty)

Пусть t=2^{3-x^2}-1, тогда неравенство примет вид:

\frac{t^2-8t+7}{t^2}\geqslant 0, \frac{(t-1)(t-7)}{t^2}\geqslant 0, откуда t<0; 0<t\leqslant 1; t\geqslant 7.

При t<0 получим: 2^{3-x^2}-1<0; 3-x^2<0, откуда x<-\sqrt{3}; x>\sqrt{3}.

При 0<t\leqslant 1 получим: 0<2^{3-x^2}-1\leqslant 1; 0<3-x^2\leqslant 1, откуда -\sqrt{3}<x\leqslant -\sqrt{2};\sqrt{2}\leqslant x< \sqrt{3}.

При t\geqslant 7 получим: 2^{3-x^2}-1\geqslant 7; 3-x^2\geqslant 3, откуда x=0.

Решением исходного неравенства будет

x<-\sqrt{3}; -\sqrt{3}<x\leqslant -\sqrt{2}; x=0; \sqrt{2}\leqslant x<\sqrt{3}; x>\sqrt{3}

(-\infty ; -\sqrt{3}); (-\sqrt{3}; -\sqrt{2}]; 0; [\sqrt{2};\sqrt{3}); (\sqrt{3}; +\infty )

Пусть 4^x=t, тогда имеем: \frac{t+2}{t-8}+\frac{t}{t-4}+\frac{8}{t^2-12t+32}\leq 0.

Разложим многочлен t^2-12t+32 на множители:

t^2-12t+32=0,

t_1=8, t_2=4,

t^2-12t+32=(t-8)(t-4).  Получили:

\frac{t+2}{t-8}+\frac{t}{t-4}+\frac{8}{(t-8)(t-4)}\leq 0

Приводим левую часть к общему знаменателю:

\frac{(t+2)(t-4)+t(t-8)+8}{(t-8)(t-4)}\leq 0 .

Раскроем скобки и приведем подобные:

\frac{t^2+2t-4t-8+t^2-8t+8}{(t-8)(t-4)}\leq 0 ,

\frac{2t^2-10t}{(t-8)(t-4)}\leq 0 ,

\frac{2t(t-5)}{(t-8)(t-4)}\leq 0 .

Решаем неравенство методом интервалов.

ОДЗ: (t-8)(t-4)\neq 0 \Rightarrow t\neq 8, t\neq 4.

Нули дроби: 2t(t-5)=0 \Rightarrow t=0, t=5.

0\leq t< 4 или 5\leq t< 8

Если 0\leq t< 4, то 0\leq 4^x< 4, 4^x<4^1, x<1

Если 5\leq t< 8, то 5\leq 4^x< 8, \log_4{5}\leq x < 1.5

(-\infty; 1) \cup [log_4{5}; 1.5 )

Пусть y=2^{2-x^2}-1, тогда неравенство примет вид:

\frac{y^{2}-4y+3}{y^{2}}\geqslant 0; \frac{(y-1)(y-3)}{y^{2}}\geqslant 0,

откуда y< 0;\: 0< y\leqslant1;\:y\geq 3.

При y< 0 получим: 2^{2-x^2}-1< 0;\enspace 2-x^{2}< 0, откуда x< -\sqrt{2};\enspace x> \sqrt{2}.

При 0< y\leqslant 1 получим: 0< 2^{2-x^{2}}-1\leqslant 1;\enspace 0< 2-x^{2}\leqslant 1, откуда -\sqrt{2}< x\leqslant -1;\enspace1\leqslant x< \sqrt{2}.

При y\geqslant 3 получим: 2^{2-x^2}-1\geqslant 3;\enspace 2-x^{2}\geqslant 2, откуда x=0.

Решение исходного неравенства:

x< -\sqrt{2}; -\sqrt{2}< x\leqslant 1; x=0; 1\leqslant x< \sqrt{2}; x> \sqrt{2}.

(-\infty ; -\sqrt{2}); (-\sqrt{2}; -1]; 0; [ 1; \sqrt{2}); (\sqrt{2}; +\infty ).