Задание №1192
Условие
Решите неравенство 3^{3x}-3^{x+1}\cdot 2^{2x}+18^x-3\cdot 8^x\geqslant 0.
Решение
3^{3x}-3^x\cdot 2^{2x}\cdot 3+3^{2x}\cdot 2^x-3\cdot 2^{3x} \geqslant 0.
Разделим обе части неравенства на 2^{3x}, 2^{3x} \neq 0, 2^{3x}>0, неравенство примет вид \frac{3^{3x}}{2^{3x}}-\frac{3^x\cdot 2^{2x}\cdot 3}{2^{3x}}\,\,\,+ \frac{3^{2x}\cdot 2^x}{2^{3x}}-\frac{3\cdot 2^{3x}}{2^{3x}}\geqslant 0,
\left( \frac32\right) ^{3x}-3\cdot \left( \frac32\right) ^x+\left( \frac32\right) ^{2x}-3\geqslant 0, введем обозначение \left( \frac32\right) ^x=t, t>0.
t^3+t^2-3t-3\geqslant 0,
t^2(t+1)-3(t+1)\geqslant 0,
(t+1)(t^2-3)\geqslant 0,
t\in[-\sqrt 3;-1]\cup [\sqrt 3;+\infty ), но t>0, следовательно, решением неравенства t^3+t^2-3t-3\geqslant 0 является t\in[\sqrt 3;+\infty ).
\left( \frac32\right) ^x=t, тогда \left( \frac32\right) ^x\geqslant \sqrt 3.
x\geqslant \log_{\tfrac32}\sqrt 3=\frac{\dfrac12\log_33}{\log_33-\log_32},
x\geqslant \frac1{2(1-\log_32)}.
x \in\left[ \frac1{2(1-\log_32) }; +\infty \right).
Ответ
\left[ \frac1{2(1-\log_32) }; +\infty \right).