Задание №990
Условие
Решите неравенство 7^{2x}-7^{x+1}+3|7^{x}-5| \geq 6
Решение
Введём обозначение 7^x=t,\, t > 0. Неравенство примет вид t^{2}-7t+3|t-5| \geq 6.
\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} t^{2}-7t+3(t-5) \geq 6, \\ t \geq 5; \end{cases} \\ \begin{cases} t^{2}-7t+3(-t+5) \geq 6, \\ 0 < t \leq 5; \end{cases} \end{array}\right.
\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} t^{2}-4t-21 \geq 0, \\ t \geq 5; \end{cases} \\ \begin{cases} t^{2}-10t+9 \geq 0, \\ 0 < t \leq 5; \end{cases} \end{array}\right.
\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} t \leq -3; t \geq 7, \\ t \geq 5; \end{cases} \\ \begin{cases} t \leq 1; t \geq 9, \\ 0 < t \leq 5; \end{cases} \end{array}\right.
\left[\!\!\begin{array}{l} t \geq 7, \\ 0 < t \leq 1. \end{array}\right.
1) 0 < 7^{x} \leq 1,\,x \leq 0.
2) 7^{x} \geq 7,\, x \geq 1.
Значит, объединением решений будут промежутки (-\infty ;0] и [1;+\infty ).
Ответ
(-\infty;0]\cup[1;+\infty)