Задание №988
Условие
Решите неравенство \frac{4 \cdot 5^{x}-17}{5^{x}-4}+\frac{10 \cdot 5^{x}-13}{2 \cdot 5^{x}-3} > \frac{8 \cdot 5^{x}-30}{2 \cdot 5^{x}-7}+\frac{5^{x+1}-4}{5^{x}-1}.
Решение
С помощью замены 5^{x}=t, где t > 0, приведем неравенство к виду \frac{4t-17}{t-4}+\frac{10t-13}{2t-3} > \frac{8t-30}{2t-7}+\frac{5t-4}{t-1}.
Выделим целую часть в каждом слагаемом:
4-\frac{1}{t-4}+5+\frac{2}{2t-3} > 4-\frac{2}{2t-7}+5+\frac{1}{t-1},
\frac{2}{2t-3}-\frac{1}{t-4}+\frac{2}{2t-7}-\frac{1}{t-1} > 0.
После приведения к общему знаменателю и упрощению получим:
\frac{2t-5}{(2t-3)(t-4)(2t-7)(t-1)} < 0.
Решим неравенство методом интервалов
.png)
С учётом условия t > 0, получим
0 < t < 1, \frac{3}{2} < t < \frac{5}{2}, \frac{7}{2} < t < 4.
Возвращаясь к переменной x, получим, что 5^{x} < 1, \frac{3}{2} < 5^{x} < \frac{5}{2}, \frac{7}{2} < 5^{x} < 4 откуда x < 0, \log_{5}\frac{3}{2} < x < \log_{5}\frac{5}{2}, \log_{5}\frac{7}{2} < x < \log_{5}4.
Ответ
(-\infty;0)\,\cup \left (\log_{5}\frac{3}{2}; \log_{5}\frac{5}{2}\right )\,\cup \left (\log_{5}\frac{7}{2}; \log_{5}4\right)