Задание №169

Пусть 4^x=t, тогда имеем: \frac{t+2}{t-8}+\frac{t}{t-4}+\frac{8}{t^2-12t+32}\leq 0.

Разложим многочлен t^2-12t+32 на множители:

t^2-12t+32=0,

t_1=8, t_2=4,

t^2-12t+32=(t-8)(t-4).  Получили:

\frac{t+2}{t-8}+\frac{t}{t-4}+\frac{8}{(t-8)(t-4)}\leq 0

Приводим левую часть к общему знаменателю:

\frac{(t+2)(t-4)+t(t-8)+8}{(t-8)(t-4)}\leq 0 .

Раскроем скобки и приведем подобные:

\frac{t^2+2t-4t-8+t^2-8t+8}{(t-8)(t-4)}\leq 0 ,

\frac{2t^2-10t}{(t-8)(t-4)}\leq 0 ,

\frac{2t(t-5)}{(t-8)(t-4)}\leq 0 .

Решаем неравенство методом интервалов.

ОДЗ: (t-8)(t-4)\neq 0 \Rightarrow t\neq 8, t\neq 4.

Нули дроби: 2t(t-5)=0 \Rightarrow t=0, t=5.

0\leq t< 4 или 5\leq t< 8

Если 0\leq t< 4, то 0\leq 4^x< 4, 4^x<4^1, x<1

Если 5\leq t< 8, то 5\leq 4^x< 8, \log_4{5}\leq x < 1.5

(-\infty; 1) \cup [log_4{5}; 1.5 )