Задание №228

Пусть \left | 2^{x}-3 \right |=t, тогда получаем неравенство t \geq 4+\frac{1}{6-t}. Преобразуем последнее неравенство: 4-t+\frac{1}{6-t} \leq 0; \frac{t^{2}-10t+25}{6-t} \leq 0; \frac{(t-5)^{2}}{6-t} \leq 0.

Используя метод интервалов, найдем решения неравенства с переменной t: t=5 или t > 6. Отсюда \left | 2^{x}-3 \right |=5 или \left | 2^{x}-3 \right | > 6.

Пусть 2^{x}=a, решим уравнение и неравенство с модулем. Из уравнения \left | a-3 \right |=5 получаем \left[\!\!\begin{array}{l} a-3 = 5, \\a - 3= -5; \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\!\!\begin{array}{l} a = 8, \\ a = -2. \end{array}\right.

Далее \left[\!\!\begin{array}{l} 2^{x}=8 \\ 2^{x}=-2; \end{array}\right. \Leftrightarrow x=3. Модуль \left | a-3 \right | есть расстояние на координатной оси от точки a до точки 3.

Для решения неравенства \left | a-3 \right | > 6 необходимо найти такие точки, расстояние от которых до точки 3 больше 6. Справа от точки 3 расположена точка 9 на расстоянии 6 единиц, а слева — точка (-3). Поэтому из неравенства

\left | a-3\right | > 6 получаем a < -3 или a > 9. Далее \left[\!\!\begin{array}{l} 2^{x} < -3, \\ 2^{x} > 9; \end{array}\right.\: \Leftrightarrow \: 2^{x} > 2^{\log_{2}9} \Leftrightarrow \: x > \log _{2}9.

\left \{3\right \} \cup (\log_{2}9; +\infty)