Задания по теме «Логарифмические уравнения»

Найдем ОДЗ: 10x-8>0.

5^{\log_{25}(10x-8)}=5^{\log_58},

\log_{25}(10x-8)=\log_58,

\log_{5^2}(10x-8)=\log_58,

\frac12\log_5(10x-8)=\log_58,

\log_5(10x-8)=2\log_58,

\log_5(10x-8)=\log_58^2,

10x-8=64, значит, условие 10x-8>0 выполняется.

10x=72,

x=7,2.

28+4x=18-x,

5x=-10,

x=-2.

Сделаем проверку.

\log_3(28+4\cdot(-2))=\log_3(18-(-2)),

\log_3 20=\log_3 20. Верно, значит, x=-2 — корень уравнения.

Согласно определению логарифма x-7>0 и x-7\neq1, тогда x>7 и x\neq8.

Так как 2=\log_{x-7}(x-7)^2 при x>7 и x\neq8, то получаем уравнение \log_{x-7}81=\log_{x-7}(x-7)^2.

Поэтому (x-7)^2=81,

x-7=\pm9,

x_1=16,

x_2=-2.

x_2=-2 решением не является, так как x>7.

Так как 4=\log_33^4=\log_381, то \log_3(12-x)=\log_381,

12-x=81,

x=-69.

\log_6(5x+27)=\log_6(3+x)+\log_66,

\log_6(5x+27)=\log_6(6\cdot(3+x)),

\log_6(5x+27)=\log_6(18+6x),

5x+27=18+6x,

x=9.

Проверка:

\log_6(5\cdot9+27)=\log_6(3+9)+1,

\log_672=\log_612+1,

\log_672=\log_672.

x=9 — корень уравнения.

x-3=8x-31,

7x=28,

x=4.

Проверкой убеждаемся, что x=4 действительно является корнем исходного уравнения.

Воспользуемся формулой: 

\log_{a}b=x \Leftrightarrow a^x=b

Значит:

\log_{4}2^{2x+5}=\log_{4}256

2^{2x+5}=256

2^{2x+5}=2^8

2x+5=8

2x=3

x=\frac{3}{2}=1,5

Воспользуемся формулой: 

\log_{a^k}x=\frac{1}{k}\log_{a}x, k\neq 0

Получим:

\log_{4}(2-x)=\log_{4^2}25

\log_{4}(2-x)=\frac{1}{2}\log_{4}25

2\log_{4}(2-x)=\log_{4}25

\log_{4}(2-x)^2=\log_{4}25

(2-x)^2=25

|2-x|=5

2-x=5

x=-3

Выполним преобразования:

\log_7(9-x)=\log_73^3

Раскроем знак логарифма:

9-x=3^3

9-x=27

-x=27-9

x=-18

Раскроем знак логарифма по формуле

\log_ab=c \Leftrightarrow b=a^c

и выполним преобразования:

7-x=2^5

7-x=32

-x=32-7

x=-25