Задания по теме «Уравнения с параметром»

Уравнение \frac{x^2+ax+2}2=\sqrt {4x^2+ax+1} при \frac{x^2+ax+2}2<0 не имеет корней. При x^2+ax+2 \geqslant 0 обе части уравнения можно возвести в квадрат.

(x^2+ax+2)^2 =4(4x^2+ax+1),

x^4+ax^3+2x^2+ax^3+a^2x^2\,+ 2ax+2x^2+2ax+4= 16x^2+4ax+4,

x^4+2ax^3+x^2(a^2-12)=0,

x^2(x^2+2ax+a^2-12)=0,

x^2((x+a)^2-12) =0,

x_1=0, (x+a-\sqrt {12})(x+a+\sqrt {12})=0,

x_2=-a+\sqrt {12},

x_3=-a-\sqrt {12}.

Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо, чтобы числа x_{1,} x_{2,} x_3 были различными и для каждого из этих чисел выполнялось условие x^2 +ax+2 \geqslant 0.

x_2 \neq 0 и x_3 \neq 0, если a \neq \sqrt {12}=2\sqrt 3 и a \neq -\sqrt {12}=-2\sqrt 3.

Обозначим g(x)=x^2+ax+2. g(0)=2>0. Числа x_2=-a+2\sqrt 3 и x_3=-a-2\sqrt 3 будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:

\begin{cases} g(x_2)\geqslant 0,\\g(x_3)\geqslant 0; \end{cases}\enspace \begin{cases} (-a+2\sqrt 3)^2+a(-a+2\sqrt 3)+2\geqslant 0,\\( -a-2\sqrt 3)^2+a(-a-2\sqrt 3)+2\geqslant 0; \end{cases}

\begin{cases} -2a\sqrt 3+14\geqslant 0,\\2a\sqrt 3+14\geqslant 0; \end{cases}\enspace \begin{cases} a\leqslant \frac7{\sqrt 3} ,\\a\geqslant -\frac7{\sqrt 3}. \end{cases}

Таким образом, a\in\left[-\frac7{\sqrt3};-2\sqrt3\right)\,\cup (-2\sqrt 3;2\sqrt3)\,\,\,\cup \left( 2\sqrt3;\frac7{\sqrt3}\right].

\left[-\frac7{\sqrt3};-2\sqrt3\right)\,\cup (-2\sqrt3;2\sqrt3)\,\,\,\cup \left(2\sqrt3;\frac7{\sqrt3}\right].

\frac{(x-3a)(x-a)+(x+3)(x-2)-(x+3)(x-a)}{(x+3)(x-a)}=0,

\frac{x^2-ax-3ax+3a^2+x^2+x-6-x^2+ax-3x+3a}{(x+3)(x-a)}=0,

\frac{x^2-x(3a+2)+3a^2+3a-6}{(x+3)(x-a)}=0,

\begin{cases} x^2-x(3a+2)+3a^2+3a-6=0,\\(x+3)(x-a)\neq 0 \end{cases}

Решим уравнение x^2-x(3a+2)+3a^2+3a-6=0,

x_{1,2}=\frac{(3a+2)\pm\sqrt {-3a^2+28}}2.

1. При D<0 уравнение корней не имеет.

2. При D=0,\enspace -3a^2+28=0, a=\pm 2\sqrt \frac73. Уравнение имеет единственный корень x =\frac{3a+2}2 при a=\pm 2 \sqrt \frac73.

Проверим условие x \neq -3,\, x \neq a.

\frac{3a+2}2 =-3, a=-\frac83 \neq \pm2\sqrt \frac73 ,

\frac{3a+2}2 =a, a=-2\neq \pm2\sqrt \frac73.

Значит, a=\pm 2\sqrt \frac73 удовлетворяет условию.

3. При D>0 уравнение имеет два корня x_{1,2}=\frac{(3a+2) \pm \sqrt {28-3a^2}}2. Проверим, при каких значениях a значения x=-3 и x=a являются корнями уравнения x^2-x(3a+2)+3a^2+3a-6=0.

При x=-3 должно выполняться равенство 9+3(3a+2)+3a^2+3a-6=0,

3a^2+12a+9=0, a^2+4a+3=0, a=-1, a=-3.

При x=a должно выполняться равенство a^2-2a+3a-6=0,

a^2+a-6=0, a_1=-3, a_2=2.

При a=-3, a=-1 и a=2 исходное уравнение имеет единственный корень.

 -3;  −1; \pm 2\sqrt \frac73 ;  2.

Уравнение x^3+3x^2-x\log_{3}(a+1)+5=0 имеет единственное решение на отрезке [0;2], если графики функций y=x^3+3x^2 и y=x\log_{3}(a+1)-5 имеют единственную точку пересечения на отрезке [0;2].

Построим графики этих функций.

1) y=x^3+3x^2.

Найдём стационарные точки: y'=3x^2+6x=3x(x+2). y'=0 при x=0, x=-2

y(-2)=-8+3(-2)^2=-8+12=4, y(0)=0. Отсюда получаем график y=x^3+3x^2.

2) y=x\log_{3}(a+1)-5. Графиком функции является прямая, угловой коэффициент которой k=\log_{3}(a+1). Прямая y=kx-5 проходит через точку (0;-5).

Найдём точку x_{0}, в которой прямая y=kx-5 является касательной к графику функции y=x^3+3x^2.

Уравнение касательной y=(x_{0}^3+3x_{0}^2)+(3x_{0}^2+6x_{0})(x-x_{0}) проходит через точку (0;-5), следовательно, -5=(x_{0}^3+3x_{0}^2)-x_{0}(3x_{0}^2+6x_{0}),

2x_{0}^3+3x_{0}^2-5=0. x_{0}=1 — точка касания.

2x_{0}^3+3x_{0}^2-5=(x_{0}-1)(2x_{0}^2+5x_{0}+5).

Других точек касания нет, так как уравнение 2x_{0}^2+5x_{0}+5=0 корней не имеет.

Если x=1, то y=4, тогда 4=k-5, откуда k=9.

Найдем значение k, при котором прямая y=kx-5 проходит через точку (2;20). 20=2k-5, k=12,5, y=12,5x-5.

Для k=9 и k > 12,5 графики функций y=x^3+3x^2 и y=kx-5 имеют на отрезке [0;2] единственную общую точку. Найдем значения параметра a.

\log_{3}(a+1)=9, a+1=3^9, a=3^9-1.

\log_{3}(a+1) > 12,5, a+1 > 3^{\tfrac{25}{2}}. a > 3^{12,5}-1.

Итак, если a=3^9-1 или a > 3^{12,5}-1, то уравнение x^3+3x^2-x\log_{3}(a+1)+5=0 имеет единственное решение на отрезке [0;2].

a=3^9-1,\, a > 3^{12,5}-1

Исходное уравнение равносильно уравнению a + \sqrt{a+\sqrt{x}}=x.

Рассмотрим функцию f(x)=a+\sqrt{x,} определённую при x \geq 0. Тогда полученное уравнение можно записать в виде f(f(x))=x. Это уравнение равносильно уравнению f(x)=f^{-1}(x), где f^{-1}(x) — функция, обратная к f(x). Если y=a+\sqrt{x}, то x=(y-a)^2. Тогда обратной к функции f(x) является функция f^{-1}(x)=(x-a)^2, определенная при x \geq a. Проверим это:

f(f^{-1}(x))= a+\sqrt{f^{-1}(x)}= a+\sqrt{(x-a)^2}= a+|x-a|= a+x-a=x

f^{-1}(f(x))= (f(x)-a)^2= (a+\sqrt{x}-a)^2=x

Возможны три случая.

1. При a > 0 уравнение f(x)=f^{-1}(x) имеет единственный корень x_{0}

2. При a=0 уравнение f(x)=f^{-1}(x) принимает вид \sqrt{x}=x^{2} и имеет два корня: x_{1}=0 и x_{2}=1.

3. При a < 0 уравнение f(x)=f^{-1}(x) будет иметь один единственный корень x_{0}, только если прямая y=x будет общей касательной к графикам функций y=f(x) и y=f^{-1}(x) в точке с абсциссой x_{0}

В этом случае в точке x_{0} выполняются условия:

\begin{cases} f(x_{0})=f^{-1}(x_{0}), \\ f'(x_{0})=1;\end{cases}

\begin{cases} a+\sqrt{x_{0}}=(x_{0}-a)^2, \\ \frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}=1.\end{cases}

Из второго уравнения системы находим x_{0}=\frac{1}{4} и подставляем это значение в первое уравнение:

a=\sqrt{\frac{1}{4}}=\left ( \frac{1}{4}-a\right )^2;

a+\frac{1}{2}=\frac{1}{16}-\frac{a}{2}+a^2;

a^2-\frac{3}{2}a-\frac{7}{16}=0;

16a^2-24a-7=0.

Последнее уравнение имеет два корня: a_{1}=-\frac{1}{4} и a_{2}=\frac{7}{4}. Так как a < 0, то a=-\frac{1}{4}.

\left \{-\frac{1}{4}\right \} \cup (0;+\infty )

В левой части уравнения выделим целую часть

\frac{x^{3}+x^{2}-16a^{2}x-5x+a}{x^{3}-16a^{2}x}= \frac{x^{3}-16a^{2}x}{x^{3}-16a^{2}x}+\frac{x^{2}-5x+a}{x^{3}-16a^{2}x}= 1+\frac{x^{2}-5x+a}{x^{3}-16a^{2}x}.

Тогда уравнение примет вид \frac{x^{2}-5x+a}{x^{3}-16a^{2}x}=0.

Оно равносильно системе

\begin{cases} x^{2}-5x+a=0, \\ x^{3}-16a^{2}x \neq0;\end{cases}

\begin{cases} a = -x^{2}+5x, \\ x \neq 0, x \neq \pm 4a.\end{cases}

Решим систему графически в системе координат xOa. Для этого построим графики функций a=-x^{2}+5x и a= \pm \frac{x}{4}.

Графиком функции a=-x^{2}+5x является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы — точка \left ( \frac{5}{2}; \frac{25}{4} \right ), точки (0;0) и (5;0) принадлежат параболе. Графиками функций a= \pm \frac{x}{4} являются прямые.

Решая уравнение -x^{2}+5x=\frac{x}{4}, находим точки пересечения прямой a=\frac{x}{4} и параболы

a=-x^{2}+5x: x=0, x=\frac{19}{4}, откуда a=0, a=\frac{19}{16}. Аналогично, решая уравнение -x^{2}+5x=-\frac{x}{4}, находим a=0, a=-\frac{21}{16}. Выкалываем эти точки. По рисунку видим, что ровно одна точка пересечения параболы с каждой из прямых будет при a=-\frac{21}{16}, a=0, a=\frac{19}{16}, a=\frac{25}{4}.

 -\frac{21}{16};\, 0;\, \frac{19}{16};\, \frac{25}{4}.

Уравнение x^{2}+ax+4=\sqrt{20x^{2}+8ax+16} при x^{2}+ax+4 < 0 не имеет корней. При x^{2}+ax+4 \geq 0 (1) можно обе части уравнения возвести в квадрат.

(x^{2}+ax+4)^{2}=20x^{2}+8ax+16,

x^{4}+ax^{3}+4x^{2}+ax^{3}+a^{2}x^{2}+ 4ax+4x^{2}+4ax+16= 20x^{2}+8ax+16,

x^{4}+2ax^{3}+x^{2}(a^{2}-12)=0,

x^{2}(x^{2}+2ax+a^{2}-12)=0,

x^{2}((x+a)^{2}-12)=0,

x_{1}=0\,, (x+a-\sqrt{12})(x+a+\sqrt{12})=0,

x_{2}=-a+\sqrt{12},\,x_{3}=-a-\sqrt{12}.

Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо выполнение условия (1) для чисел x_{1}, x_{2}, x_{3} и выполнение условия, что эти числа различны.

x_{2} \neq0 и x_{3} \neq 0, если a \neq \sqrt{12}=2\sqrt{3} и a \neq -\sqrt{12}=-2\sqrt{3}.

Обозначим g(x)=x^{2}+ax+4\,. g(x_{1})=g(0)=4 > 0.

Числа x_{2}=-a+\sqrt{12} и x_{3}=-a-\sqrt{12} будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:

\begin{cases} g(x_{2}) \geq 0, \\ g(x_{3}) \geq 0;\end{cases}

\begin{cases} (-a+\sqrt{12})^{2}+a(-a+\sqrt{12})+4 \geq 0, \\ (-a-\sqrt{12})^{2}+a(-a-\sqrt{12})+4 \geq 0; \end{cases}

\begin{cases} -a\sqrt{12}+16 \geq 0, \\ a\sqrt{12}+16 \geq 0; \end{cases}

\begin{cases} a \leq \frac{8}{\sqrt{3}}, \\ a \geq -\frac{8}{\sqrt{3}}\end{cases}

Таким образом, a \in \left [ -\frac{8}{\sqrt{3}}; -2\sqrt{3}\right ) \cup (-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}) \cup \left (2\sqrt{3}; \frac {8}{\sqrt{3}} \right ].

\left[-\frac{8}{\sqrt{3}}; -2\sqrt{3}\right ) \cup (-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}) \cup \left (2\sqrt{3}; \frac{8}{\sqrt{3}}\right ] 

Пусть 3^x=t,  t > 0,  \sqrt{t^2-5a}=t-a.

При t-a < 0 правая часть уравнения отрицательная, а левая — неотрицательная, поэтому уравнение при t < a решений не имеет.

При t-a \geq 0 получаем t^2-5a=t^2-2at+a^2, 2at=a^2+5a.

При a=0\; 2 \cdot 0 \cdot t =0 — любое положительное значение t является корнем уравнения, что противоречит условию единственности корня.

При a \neq 0\; t=\frac{a+5}{2}. Для этого корня должны выполняться условия t \geq a и t > 0.

Условие \frac{a+5}{2} \geq a выполняется при a \leq 5.

Условие \frac{a+5}{2} > 0 выполняется при a > -5.

Исходное уравнение имеет единственный корень при -5 < a < 0 и 0 < a \leq5.

(-5;0)\cup (0;5] 

Разность выражений, стоящих под знаком модуля, совпадает с правой частью уравнения:

\left ( x-a^{2}+4a-2 \right )-\left ( x-a^{2}+2a+3 \right )=2a-5.

Сделаем замену: m=x-a^{2}+4a-2, n=x-a^{2}+2a+3.

Тогда уравнение имеет вид: \left | m \right |+\left | n \right |=m-n

Это равносильно условию n\leq 0\leq m. Получаем

x-a^{2}+2a+3\leq 0\leq x-a^{2}+4a-2;

a^{2}-4a+2\leq x\leq a^{2}-2a-3.

Уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке \left [ 5; 23 \right ], только если правая граница отрезка решений не меньше 5, а левая граница отрезка не больше 23. Получаем

\begin{cases} a^{2}-4a+2\leq a^{2}-2a-3,\\a^{2}-2a-3\geq 5,\\a^{2}-4a+2\leq 23;\end{cases}

\begin{cases} 2a\geq 5,\\a^{2}-2a-8\geq 0,\\a^{2}-4a-21\leq 0;\end{cases}

\begin{cases} a\geq 2,5,\\(a-4)(a+2)\geq 0,\\(a-7)(a+3)\leq 0;\end{cases}

\left \{\!\!\! \begin{array}{l}\: a\geq 2,5,\\ \left [\!\! \begin{array}{l} -3\leq a\leq -2, \\ 4\leq a\leq 7. \end{array} \right . \end{array} \right .

4\leq a\leq 7.

Разность выражений, стоящих под знаком модуля, совпадает с правой частью уравнения:

\left ( x-a^{2}+3a-1 \right )-\left ( x-a^{2}+a+2 \right )=2a-3

Сделаем замену: m=x-a^{2}+3a-1, n=x-a^{2}+a+2.

Тогда уравнение имеет вид: \left | m \right |+\left | n \right |=m-n

Это равносильно условию n\leq 0\leq m. Получаем

x-a^{2}+a+2\leq 0\leq x-a^{2}+3a-1

a^{2}-3a+1\leq x\leq a^{2}-a-2

Уравнение имеет корни, ни один из которых не принадлежит интервалу \left ( 4; 19 \right ) только если правая граница отрезка решений не больше 4 или левая граница не меньше 19.

Получаем

\left \{\!\!\!\! \begin{array}{l}\: a^{2}-3+1\leq a^{2}-a-2, \\ \left [\!\! \begin{array}{l} a^{2}-a-2\leq 4, \\ a^{2}-3a+1\geq19; \end{array} \right . \end{array} \right .

\left \{\!\!\!\! \begin{array}{l}\: 2a\geq 3, \\ \left [\!\! \begin{array}{l} a^{2}-a-6\leq 0, \\ a^{2}-3a-18\geq0; \end{array} \right . \end{array} \right .

\left \{\!\!\!\! \begin{array}{l}\: a\geq 1,5, \\ \left [\!\! \begin{array}{l} (a-3)(a+2)\leq 0, \\ (a-6)(a+3)\geq0; \end{array} \right . \end{array} \right .

\left \{\!\!\!\! \begin{array}{l}\: a\geq 1,5, \\ \left [\!\! \begin{array}{l} a\leq -3, \\ -2\leq a\leq 3, \\ a\geq 6; \end{array} \right . \end{array} \right .

1,5\leq a\leq 3; a\geq 6.