Задание №1222

Уравнение \frac{x^2+ax+2}2=\sqrt {4x^2+ax+1} при \frac{x^2+ax+2}2<0 не имеет корней. При x^2+ax+2 \geqslant 0 обе части уравнения можно возвести в квадрат.

(x^2+ax+2)^2 =4(4x^2+ax+1),

x^4+ax^3+2x^2+ax^3+a^2x^2\,+ 2ax+2x^2+2ax+4= 16x^2+4ax+4,

x^4+2ax^3+x^2(a^2-12)=0,

x^2(x^2+2ax+a^2-12)=0,

x^2((x+a)^2-12) =0,

x_1=0, (x+a-\sqrt {12})(x+a+\sqrt {12})=0,

x_2=-a+\sqrt {12},

x_3=-a-\sqrt {12}.

Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо, чтобы числа x_{1,} x_{2,} x_3 были различными и для каждого из этих чисел выполнялось условие x^2 +ax+2 \geqslant 0.

x_2 \neq 0 и x_3 \neq 0, если a \neq \sqrt {12}=2\sqrt 3 и a \neq -\sqrt {12}=-2\sqrt 3.

Обозначим g(x)=x^2+ax+2. g(0)=2>0. Числа x_2=-a+2\sqrt 3 и x_3=-a-2\sqrt 3 будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:

\begin{cases} g(x_2)\geqslant 0,\\g(x_3)\geqslant 0; \end{cases}\enspace \begin{cases} (-a+2\sqrt 3)^2+a(-a+2\sqrt 3)+2\geqslant 0,\\( -a-2\sqrt 3)^2+a(-a-2\sqrt 3)+2\geqslant 0; \end{cases}

\begin{cases} -2a\sqrt 3+14\geqslant 0,\\2a\sqrt 3+14\geqslant 0; \end{cases}\enspace \begin{cases} a\leqslant \frac7{\sqrt 3} ,\\a\geqslant -\frac7{\sqrt 3}. \end{cases}

Таким образом, a\in\left[-\frac7{\sqrt3};-2\sqrt3\right)\,\cup (-2\sqrt 3;2\sqrt3)\,\,\,\cup \left( 2\sqrt3;\frac7{\sqrt3}\right].

\left[-\frac7{\sqrt3};-2\sqrt3\right)\,\cup (-2\sqrt3;2\sqrt3)\,\,\,\cup \left(2\sqrt3;\frac7{\sqrt3}\right].