Задание №1012
Условие
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение \frac{x^{3}+x^{2}-16a^{2}x-5x+a}{x^{3}-16a^{2}x}=1 имеет единственный корень.
Решение
В левой части уравнения выделим целую часть
\frac{x^{3}+x^{2}-16a^{2}x-5x+a}{x^{3}-16a^{2}x}= \frac{x^{3}-16a^{2}x}{x^{3}-16a^{2}x}+\frac{x^{2}-5x+a}{x^{3}-16a^{2}x}= 1+\frac{x^{2}-5x+a}{x^{3}-16a^{2}x}.
Тогда уравнение примет вид \frac{x^{2}-5x+a}{x^{3}-16a^{2}x}=0.
Оно равносильно системе
\begin{cases} x^{2}-5x+a=0, \\ x^{3}-16a^{2}x \neq0;\end{cases}
\begin{cases} a = -x^{2}+5x, \\ x \neq 0, x \neq \pm 4a.\end{cases}
Решим систему графически в системе координат xOa. Для этого построим графики функций a=-x^{2}+5x и a= \pm \frac{x}{4}.
Графиком функции a=-x^{2}+5x является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы — точка \left ( \frac{5}{2}; \frac{25}{4} \right ), точки (0;0) и (5;0) принадлежат параболе. Графиками функций a= \pm \frac{x}{4} являются прямые.
Решая уравнение -x^{2}+5x=\frac{x}{4}, находим точки пересечения прямой a=\frac{x}{4} и параболы
a=-x^{2}+5x: x=0, x=\frac{19}{4}, откуда a=0, a=\frac{19}{16}. Аналогично, решая уравнение -x^{2}+5x=-\frac{x}{4}, находим a=0, a=-\frac{21}{16}. Выкалываем эти точки. По рисунку видим, что ровно одна точка пересечения параболы с каждой из прямых будет при a=-\frac{21}{16}, a=0, a=\frac{19}{16}, a=\frac{25}{4}.
Ответ
-\frac{21}{16};\, 0;\, \frac{19}{16};\, \frac{25}{4}.