Открытый банк заданий по теме цилиндр. Задания B8 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 20 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в два раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Пусть R — радиус основания первого сосуда, тогда 2R — радиус основания второго сосуда. По условию объём жидкости V в первом и втором сосуде один и тот же. Обо-значим через H — уровень, на который поднялась жидкость во втором сосуде. Тогда
V=\pi R^2 \cdot 20, и V=\pi (2R)^2H = 4\pi R^2H. Отсюда \pi R^2 \cdot 20 = 4\pi R^2H, 20 = 4H, H =5
В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 15 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см3.
Пусть R — радиус основания цилиндра, а h — уровень воды, налитой в сосуд. Тогда объём налитой воды равен объёму цилиндра с радиусом основания R и высотой h. Vводы = Sосн. · h = \pi R^2\cdot h. Согласно условию выполняется равенство 2000=\pi R^2\cdot15. Отсюда, \pi R^2=\frac{2000}{15}=\frac{400}{3}.
Пусть H — уровень воды в сосуде после погружения в него детали. Тогда суммарный объем воды и детали равен объему цилиндра с радиусом основания R и высотой H. По условию H=h+9=15+9=24. Значит, Vводы + детали = \pi R^2\cdot H=\frac{400}{3}\cdot24=3200. Следовательно, Vдетали = Vводы + детали − Vводы = 3200-2000=1200.
Найдите высоту цилиндра, если радиус его основания равен 8, а площадь боковой поверхности 96\pi.
S=2\pi rh,
96\pi=2\pi\cdot8h,
h=\frac{96\pi}{16\pi}=6.
В сосуд цилиндрический формы налили 500 куб. см воды. Определите объем детали полностью погруженной в воду, если после погружения уровень жидкости увеличился в 1,2 раза. Выразите ответ в куб. см.
Обозначим за V1 изначальный объем жидкости в цилиндре. После погружения детали, объем жидкости увеличился в 1,2 раза, значит конечный объем жидкости равен V2 = 1,2·V1. Объем детали равен разности объемов до и после погружения, значит V = V_2-V_1=1,2\cdot 500-500=100 куб. см.
Уровень жидкости в первом сосуде цилиндрической формы достигает 63 см. Диаметр второго сосуда, такой же формы, больше диаметра первого в 3 раза. Определите уровень жидкости, если ее перелить из первого сосуда во второй. Ответ укажите в сантиметрах.
Формула вычисления объема первого цилиндра имеет вид:
V_1=\pi \cdot R_1^2 \cdot h_1=\pi\left ( \frac{d_1}{2} \right )^2h_1, где:
d1 – диаметр цилиндра;
h1 – высота цилиндра.
Так как диаметр второго сосуда в 3 раза больше диаметра первого, то его объем равен: V_2=\pi\left ( \frac{3d_1}{2} \right )^2h_2
При переливе жидкости ее исходный объем не изменяется, т.е.: V1 = V2, а значит справедливо равенство: \pi\left(\frac{d_1}{2}\right)^2h_1=\pi\left(\frac{3d_1}{2}\right)^2h_2
Подставим значения из условия, упростим выражение и найдем искомую высоту жидкости второго сосуда h2:
\pi \enspace\frac{d_1^{2}}{4}\enspace 63=\pi \enspace\frac{9d_1^{2}}{4}\enspace h_2
\frac{63}{4}=\frac{9}{4}h_2
h_2=\frac{63}{9}=7
Закажите обратный звонок!