Задания по теме «Показательные и логарифмические уравнения»

а) После замены t=\log_2(2 \sin x+1) исходное уравнение примет вид t^2 -17t+16=0. Корни этого уравнения t=1, t=16. Возвращаясь к переменной x, получим:

\left[\!\!\begin{array}{l} \log_2(2 \sin x+1)=1,\\ \log_2(2 \sin x+1)=16; \end{array}\right. \left[\!\!\begin{array}{l} 2\sin x+1=2,\\ 2\sin x+1=2^{16}. \end{array}\right.

Второе уравнение совокупности не имеет корней. Решая первое уравнение, получим:

\sin x =\frac12, x=(-1)^n\frac\pi 6+\pi n,n \in \mathbb Z.

б) Запишем решение уравнения в виде x=\frac\pi 6 +2\pi n,n \in \mathbb Z или x=\frac{5\pi }6+2\pi k,k\in \mathbb Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства \frac\pi 4\leqslant \frac\pi 6+2\pi n\leqslant 2\pi и \frac\pi 4\leqslant \frac{5\pi }6+2\pi k\leqslant 2\pi.

Получим: \frac1{24}\leqslant n\leqslant \frac{11}{12} и -\frac7{24}\leqslant k\leqslant \frac7{12}, откуда следует, что нет целых значений n, удовлетворяющих неравенству \frac1{24}\leqslant n\leqslant \frac{11}{12};\,\,\, k=0 — единственное целое k, удовлетворяющее неравенству -\frac7{24}\leqslant k\leqslant \frac7{12}.

При k=0, x=\frac{5\pi }6+2\pi\cdot 0=\frac{5\pi }6. Итак, \frac{5\pi }6 — корень уравнения, принадлежащий отрезку \left[ \frac\pi 4;\,2\pi \right].

а) (-1)^n\frac\pi 6+\pi n,n \in \mathbb Z.

б) \frac{5\pi }6.

а) Преобразуем исходное уравнение и разложим на множители его левую часть.

5^{3x}-3\cdot 5^{2x}-25\cdot 5^x+25\cdot 3=0,

5^{2x}(5^x-3)-25(5^x-3)=0,

(5^x-3)(5^{2x}-25)=0.

Получаем: 5^x-3=0 или 5^{2x}-25=0.

5^x-3=0, x=\log_53 или 5^{2x}=25, x=1.

б) Нам нужно выбрать те корни уравнения, которые принадлежат отрезку [\log_5 4; \log_5 11]. Заметим, что \log_5 3<\log_5 4<1<\log_5 11, значит, указанному отрезку принадлежит корень x=1.

а) 1; \log_5 3;

б) 1.

а) План решения:

1. Найдём ОДЗ.

2. Перейдём к логарифмам с одинаковым основанием.

3. Сделаем замену переменной так, чтобы получить квадратное уравнение.

4. Решим квадратное уравнение.

5. Вернёмся к исходной переменной.

6. Среди значений переменной, найденных на предыдущем шаге, отберём те, которые принадлежат ОДЗ.

Решение:

1. ОДЗ: x>0,  x \neq 1.

2. \log_x^2\sqrt 2=2-\frac{\ln \sqrt 2}{\ln x},  \log_x^2\sqrt 2=2-\log_x\sqrt 2,  \log_x^2\sqrt 2+\log_x\sqrt 2-2=0.

3. Пусть \log_x\sqrt 2=t.

t^2+t-2=0.

4. t_1=-2,  t_2=1.

5. \log_x\sqrt 2=-2,  x_1=\frac{1}{\sqrt[4]{2}};

\log_x\sqrt 2=1,  x_2=\sqrt 2.

6. x=\frac1{\sqrt[4]{2}} и x=\sqrt 2 принадлежат ОДЗ.

б) Так как в пункте а) было получено конечное число корней, то проверим каждый из них. Чтобы сравнить найденные значения корней с концами промежутка, при необходимости будем избавляться от иррациональностей путём возведения обеих частей проверяемых неравенств в соответствующую степень.

\sqrt 2>1, следовательно, \sqrt 2 \notin (0,8;\, 1].

\sqrt [4]2>1, следовательно, \frac1{\sqrt[4]2}<1.

Проверим, выполняется ли неравенство \frac1{\sqrt[4]2}>0,8=\frac45. Это неравенство справедливо только в том случае, если \sqrt [4]2<\frac54. Так как в левой и правой части последнего неравенства стоят положительные числа, то оно выполняется только если \left(\sqrt [4]2\right)^4<\left( \frac54\right) ^4, то есть 2<\frac{625}{256}. Это неравенство справедливо, значит, \frac1{\sqrt [4]2}>0,8.

а) \sqrt 2;\, \frac1{\sqrt [4]2};

б) \frac1{\sqrt [4]2}.

а) Преобразуем исходное уравнение и разложим на множители его левую часть.

3^{3x}-5\cdot 3^{2x}-81\cdot 3^x+405=0,

3^{2x}(3^x-5)-81(3^x-5)=0,

(3^{2x}-81)(3^x-5)=0.

Получаем 3^{2x}-81=0 или 3^x-5=0. Значит, 3^{2x}=81, откуда x=2 или 3^x=5, откуда x=\log_35.

б) Нам нужно выбрать те корни уравнения, которые принадлежат отрезку [\log_3 6; \log_3 10]. Заметим, что 2=\log_3 9. Тогда \log_3 5<\log_3 6<2<\log_3 10. Значит, указанному отрезку принадлежит корень x=2.

а) 2; \log_3 5;

б) 2.