Задание №1169

а) План решения:

1. Найдём ОДЗ.

2. Перейдём к логарифмам с одинаковым основанием.

3. Сделаем замену переменной так, чтобы получить квадратное уравнение.

4. Решим квадратное уравнение.

5. Вернёмся к исходной переменной.

6. Среди значений переменной, найденных на предыдущем шаге, отберём те, которые принадлежат ОДЗ.

Решение:

1. ОДЗ: x>0,  x \neq 1.

2. \log_x^2\sqrt 2=2-\frac{\ln \sqrt 2}{\ln x},  \log_x^2\sqrt 2=2-\log_x\sqrt 2,  \log_x^2\sqrt 2+\log_x\sqrt 2-2=0.

3. Пусть \log_x\sqrt 2=t.

t^2+t-2=0.

4. t_1=-2,  t_2=1.

5. \log_x\sqrt 2=-2,  x_1=\frac{1}{\sqrt[4]{2}};

\log_x\sqrt 2=1,  x_2=\sqrt 2.

6. x=\frac1{\sqrt[4]{2}} и x=\sqrt 2 принадлежат ОДЗ.

б) Так как в пункте а) было получено конечное число корней, то проверим каждый из них. Чтобы сравнить найденные значения корней с концами промежутка, при необходимости будем избавляться от иррациональностей путём возведения обеих частей проверяемых неравенств в соответствующую степень.

\sqrt 2>1, следовательно, \sqrt 2 \notin (0,8;\, 1].

\sqrt [4]2>1, следовательно, \frac1{\sqrt[4]2}<1.

Проверим, выполняется ли неравенство \frac1{\sqrt[4]2}>0,8=\frac45. Это неравенство справедливо только в том случае, если \sqrt [4]2<\frac54. Так как в левой и правой части последнего неравенства стоят положительные числа, то оно выполняется только если \left(\sqrt [4]2\right)^4<\left( \frac54\right) ^4, то есть 2<\frac{625}{256}. Это неравенство справедливо, значит, \frac1{\sqrt [4]2}>0,8.

а) \sqrt 2;\, \frac1{\sqrt [4]2};

б) \frac1{\sqrt [4]2}.