Задание №1166
Условие
а) Решите уравнение 27^x-5\cdot 9^x-3^{x+4}+405=0.
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\log_36; \log_310].
Решение
а) Преобразуем исходное уравнение и разложим на множители его левую часть.
3^{3x}-5\cdot 3^{2x}-81\cdot 3^x+405=0,
3^{2x}(3^x-5)-81(3^x-5)=0,
(3^{2x}-81)(3^x-5)=0.
Получаем 3^{2x}-81=0 или 3^x-5=0. Значит, 3^{2x}=81, откуда x=2 или 3^x=5, откуда x=\log_35.
б) Нам нужно выбрать те корни уравнения, которые принадлежат отрезку [\log_3 6; \log_3 10]. Заметим, что 2=\log_3 9. Тогда \log_3 5<\log_3 6<2<\log_3 10. Значит, указанному отрезку принадлежит корень x=2.
Ответ
а) 2; \log_3 5;
б) 2.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.