Задание №1171
Условие
а) Решите уравнение 125^x-3\cdot 25^x-5^{x+2}+75=0.
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\log_54; \log_511).
Решение
а) Преобразуем исходное уравнение и разложим на множители его левую часть.
5^{3x}-3\cdot 5^{2x}-25\cdot 5^x+25\cdot 3=0,
5^{2x}(5^x-3)-25(5^x-3)=0,
(5^x-3)(5^{2x}-25)=0.
Получаем: 5^x-3=0 или 5^{2x}-25=0.
5^x-3=0, x=\log_53 или 5^{2x}=25, x=1.
б) Нам нужно выбрать те корни уравнения, которые принадлежат отрезку [\log_5 4; \log_5 11]. Заметим, что \log_5 3<\log_5 4<1<\log_5 11, значит, указанному отрезку принадлежит корень x=1.
Ответ
а) 1; \log_5 3;
б) 1.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.