Задание №1172

а) После замены t=\log_2(2 \sin x+1) исходное уравнение примет вид t^2 -17t+16=0. Корни этого уравнения t=1, t=16. Возвращаясь к переменной x, получим:

\left[\!\!\begin{array}{l} \log_2(2 \sin x+1)=1,\\ \log_2(2 \sin x+1)=16; \end{array}\right. \left[\!\!\begin{array}{l} 2\sin x+1=2,\\ 2\sin x+1=2^{16}. \end{array}\right.

Второе уравнение совокупности не имеет корней. Решая первое уравнение, получим:

\sin x =\frac12, x=(-1)^n\frac\pi 6+\pi n,n \in \mathbb Z.

б) Запишем решение уравнения в виде x=\frac\pi 6 +2\pi n,n \in \mathbb Z или x=\frac{5\pi }6+2\pi k,k\in \mathbb Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства \frac\pi 4\leqslant \frac\pi 6+2\pi n\leqslant 2\pi и \frac\pi 4\leqslant \frac{5\pi }6+2\pi k\leqslant 2\pi.

Получим: \frac1{24}\leqslant n\leqslant \frac{11}{12} и -\frac7{24}\leqslant k\leqslant \frac7{12}, откуда следует, что нет целых значений n, удовлетворяющих неравенству \frac1{24}\leqslant n\leqslant \frac{11}{12};\,\,\, k=0 — единственное целое k, удовлетворяющее неравенству -\frac7{24}\leqslant k\leqslant \frac7{12}.

При k=0, x=\frac{5\pi }6+2\pi\cdot 0=\frac{5\pi }6. Итак, \frac{5\pi }6 — корень уравнения, принадлежащий отрезку \left[ \frac\pi 4;\,2\pi \right].

а) (-1)^n\frac\pi 6+\pi n,n \in \mathbb Z.

б) \frac{5\pi }6.