Задания по теме «Параллелепипед»

Прямая AB параллельна плоскости DD_1C_1C. Тогда плоскость, проходящая через неё, пересекает плоскость DD_1C_1C по прямой, параллельной AB. Такой прямой будет прямая D_1C_1. Значит, в сечении получается параллелограмм ABC_1D_1.

Так как AB\perp BB_1C_1C, то AB\perp BC_1, поэтому параллелограмм ABC_1D_1 является прямоугольником. S_{ABC_1D_1} =AB\cdot BC_1. Найдем BC_1 по теореме Пифагора: BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, BC_1 = 10. Отсюда,

S_{ABC_1D_1} = AB \cdot BC_1 = 4 \cdot 10 = 40.

Примем указанную в условии грань параллелепипеда за его основание. Тогда параллелепипед будет наклонной призмой, объём V которой находим по формуле V = S_осн. · h, где S_осн. — площадь основания, а h — высота призмы. Опустим из точки A_1 верхнего основания перпендикуляр A_1K на нижнее основание.

Тогда A_1K будет высотой призмы, A_1K=h. \angle A_1AK является углом между ребром AA_1 и плоскостью основания, по условию он равен 60^{\circ}. Тогда A_1K= AA_1\cdot\sin60^{\circ}= 4\cdot\frac{\sqrt3}{2}= 2\sqrt3.

Площадь основания, являющегося ромбом, находим по формуле S_осн. = AB\cdot AD\cdot\sin60^{\circ}= 2\cdot2\cdot\frac{\sqrt3}{2}= 2\sqrt3.

Отсюда, V = S_осн. · h = 2\sqrt3\cdot2\sqrt3=12.

Рассмотрим рисунок:

Угол между прямыми DC и A_1C_1 совпадает с углом между прямыми DC и AC, так как AC \parallel A_1C_1.

\sin\angle ACD= \frac{AD}{AC}= \frac{24}{\sqrt{24^2+7^2}}= \frac{24}{\sqrt{625}}= \frac{24}{25}= 0,96.

Треугольная пирамида разбила свободное пространство параллелепипеда на 4 равных прямоугольных пирамиды. Для того, чтобы найти объем пирамиды ACB_1D_1, необходимо из объема параллелепипеда вычесть объем свободной области (т.е. 4·объем каждой из маленьких прямоугольных пирамид). 

Объем параллелепипеда равен произведению длин его сторон:

V = AB \cdot BC \cdot BB_1

Объем выделенной пирамиды V_пир определяется как произведение \frac13 площади основания на высоту:

V_пир = \frac13 \cdot S_{ABC} \cdot BB_1

S_{ABC} = \frac12 AB \cdot BC

V_пир = \frac13 \cdot\frac12 AB \cdot BC\cdot BB_1 = \frac{AB \cdot BC \cdot BB_1}{6} = \frac{V}{6}

Найдем объем пирамиды, образованной вершинами ACB_1D_1. Для этого вычтем из объема параллелепипеда объемы четырех пирамид, которые занимают свободное пространство (они равны друг другу): 

V_треуг = V – 4·V_пир = V-4 \cdot \frac{V}{6} = \frac13V

Подставляя значение V = 4,8 м³, получили: 

V_треуг = \frac{4,8}{3}=1,6 м³