Задания по теме «Буквенные иррациональные выражения»

Выражение под знаком корня можно упростить, используя свойство модуля \sqrt{a^2}=|a|. Для этого под знаком корня должен стоять полный квадрат. Преобразуем выражение и получим:

x+\sqrt{x^2+24x+144}= x+\sqrt{(x+12)^2}= x+|x+12|

Так как a\leq 12, то модуль будет меньше или равен нуля, следовательно он раскрывается со знаком «−».

x+|x+12|=x-x-12=-12

Используя свойство модуля \sqrt{a^2}=|a| избавимся от корня в обоих слагаемых. Получим:

\sqrt{(a-3)^2}+\sqrt{(a-13)^2}= |a-3|+|a-13|

Раскроем знак модуля, обращая внимание на ограничение значений 3\leq a\leq 13.

Так как a\geq 3, то |a-3| всегда больше или равно нуля, следовательно модуль раскрывается со знаком «+».

Так как a\leq 13, то |a-13| всегда меньше или равно нуля, следовательно модуль раскрывается со знаком «−».

Получим:

|a-3|+|a-13|=a-3-a+13=10

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на \sqrt x и выполним преобразования.

\frac{2\sqrt x-7}{\sqrt x}+\frac{7\sqrt x}{x}= \frac{2x-7{\sqrt x}}{x}+\frac{7\sqrt x}{x}= \frac{2x-7{\sqrt x+7\sqrt x}}{x}= \frac{2x}{x}=2.

Заметим, что \sqrt k = \sqrt[24]{k^{12}}, \sqrt[8]{k}=\sqrt[24]{k^3}, поэтому

\frac{\sqrt k}{\sqrt[24]{k}\cdot\sqrt[8]{k}}= \sqrt[24]{\frac{k^{12}}{k\cdot k^3}}=\sqrt[24]{\frac{k^{12}}{k^4}}= \sqrt[24]{k^8}=\sqrt[3]{k}=\sqrt[3]{343}=7