Задания по теме «Показательно-тригонометрические уравнения»

а) Запишем уравнение в виде

5\cdot 0,2^{2 \cos x}-26\sqrt 5\cdot 0,2^{\cos x}+25=0. После замены t=0,2^{\cos x} исходное уравнение примет вид 5t^2-26\sqrt 5t+25=0. Корни этого уравнения t=5\sqrt 5, t=\frac1{\sqrt 5}. Возвращаясь к переменной x, получим:

\left[\!\!\begin{array}{l} 0,2^{\cos x}=5\sqrt 5 \\ 0,2^{\cos x}=\frac1{\sqrt 5}; \end{array}\right. \left[\!\!\begin{array}{l} 5^{-\cos x}=5^\tfrac32, \\ 5^{-\cos x}=5^{-\tfrac12}; \end{array}\right. \left[\!\!\begin{array}{l} \cos x=-\frac32, \\ \cos x=\frac12, \end{array}\right.

Первое уравнение совокупности не имеет корней. Решая второе уравнение, получим:

x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

б) Запишем решение уравнения в виде x=\frac\pi 3 +2\pi k, k \in \mathbb Z или x=-\frac\pi 3+2\pi n,n\in \mathbb Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства -\pi \leqslant -\frac{\pi} 3+2\pi n \leqslant \frac{3\pi }2 и -\pi \leqslant \frac\pi 3+2\pi k\leqslant \frac{3\pi }2.

Получим: -\frac13\leqslant n\leqslant \frac{11}{12} и -\frac23\leqslant k\leqslant \frac{7}{12}, откуда следует, что два целых значения n=0 и k=0 удовлетворяют соответствующим неравенствам.

При n=0\enspace x=\frac\pi 3+2\pi\cdot 0=\frac\pi 3.

При k=0\enspace x=-\frac\pi 3+2\pi\cdot 0=-\frac\pi 3.

Итак, \frac\pi 3 и -\frac\pi 3 — корни уравнения, принадлежащие промежутку \left[ -\pi ; \frac{3\pi }2\right].

а) \pm\frac\pi 3+2\pi n, n\in \mathbb Z;

б) -\frac\pi 3, \frac\pi 3;

а) После замены t=3^{\cos x} исходное уравнение примет вид 9t^{2}-10\sqrt{3}t+3=0. Корни этого уравнения t=\sqrt{3}, t=\frac{\sqrt{3}}{9}, Возвращаясь к переменной x, получим:

\left[\!\!\begin{array}{l} 3^{\cos x}=\sqrt{3}, \\ 3^{\cos x}=\frac{\sqrt{3}}{9}; \end{array}\right.\, \left[\!\!\begin{array}{l} 3^{\cos x}=3^{\tfrac{1}{2}}, \\ 3^{\cos x}=3^{-\tfrac{3}{2}}; \end{array}\right.\, \left[\!\!\begin{array}{l} \cos x=\frac{1}{2}, \\ \cos x=-\frac{3}{2}. \end{array}\right.

Второе уравнение совокупности не имеет корней. Решая первое уравнение, получим x= \pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb Z.

б) Запишем решение уравнения в виде x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb Z или x=\frac{\pi}{3}+2 \pi k, k \in \mathbb Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства \frac{3\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{3}+2 \pi n \leq 4\pi и \frac{3 \pi}{2} \leq \frac{\pi}{3}+2 \pi k \leq 4\pi.

Получим \frac{11}{12} \leq n \leq \frac{26}{12} и \frac{7}{12} \leq k \leq \frac{22}{12}.

Отсюда следует, что два целых значения n=1 и n=2 удовлетворяют неравенству \frac{11}{12} \leq n \leq \frac{26}{12}; k=1 — единственное целое k, удовлетворяющее неравенству \frac{7}{12} \leq k \leq \frac{22}{12}.

При n=1\enspace x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi \cdot 1=\frac{5\pi}{3}.

При n=2\enspace x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi \cdot 2=\frac{11\pi}{3}.

При k=1\enspace x=\frac{\pi}{3}+2 \pi \cdot 1=\frac{7\pi}{3}.

Итак, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3},\frac{11\pi}{3}  — корни уравнения, принадлежащие промежутку \left [ \frac{3\pi}{2}; 4\pi\right ].

а) x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3},\frac{11\pi}{3}. 

а) Разделим обе части уравнения на 20^{\cos x} > 0 и получим уравнение 16 \cdot \left ( \frac{1}{4} \right )^{\cos x}-6 \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{\cos x}-1=0. Пусть \left ( \frac{1}{2} \right )^{\cos x}=t, где t > 0. Квадратное уравнение 16t^{2}-6t-1=0 имеет корни t_{1}=-\frac{1}{8} (не удовлетворяет условию t > 0) и t_{2}=\frac{1}{2}. Из уравнения \left ( \frac{1}{2} \right )^{\cos x}=\frac{1}{2} получаем \cos x=1; \: x=2\pi n, \: n \in \mathbb{Z}.

б) Найдем корни в промежутке \left [ -\frac{11\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right ]. -\frac{11\pi}{2} \leq 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}, -\frac{11}{4} \leq n \leq \frac{3}{4}. Отсюда находим n_{1}=-2 и x_{1}=-4\pi; \: n_{2}=-1 и x_{2}=-2\pi; \: n_{3}=0 и x_{3}=0.

а) 2\pi n, \: n \in \mathbb{Z}; б) -4\pi; \: -2\pi; \: 0

а) Преобразуем обе части уравнения, получим 7^{\sin2x}=7^{2\cos x}, откуда \sin 2x=2\cos x;

2\sin x\cos x=2\cos x; 2\cos x(\sin x-1)=0. Таким образом, либо \cos x=0 и тогда x=\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in \mathbb{Z}, либо \sin x =1, тогда x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in \mathbb{Z}. Заметим, что вторая серия решений полностью входит в первую, отсюда x=\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in \mathbb{Z}.

б) Заметим, что \pi<4 и поэтому при k=0 и при k=-1 x=\frac{\pi}{2} и -\frac{\pi}{2}, соответсвенно 0<\frac{\pi}{2}<\frac{4}{2}=2, 0>-\frac{\pi}{2}>-\frac{4}{2}>-2. Таким образом,x=\pm \frac{\pi}{2} принадлежит рассматриваемому промежутку.

При k \geqslant 1 получим x=\frac{\pi}{2}+\pi k>\frac{3}{2}+3k\geqslant\frac{3}{2}+3>4, x не принадлежит рассматриваемому промежутку.

При k \leqslant -2 получим x=\frac{\pi}{2}+\pi k\leqslant \frac{\pi}{2}-2\pi=-\frac{3}{2}\pi<-\frac{3\cdot 3}{2}<-2, x не принадлежит рассматриваемому промежутку.

а)\frac{\pi}{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z}); б) \pm \frac{\pi}{2}.

a) Преобразуем уравнение:

4^{2\sin x\cdot \cos x}=4^{-\sqrt{3}\sin x}

2 \sin x \cdot cos x =-\sqrt{3}\sin x

\sin x=0 или \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}

x=\pi R, R\in \mathbb{Z} или x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi R, R\in \mathbb{Z}.

б) При помощи тригонометрической окружности отберем корни, принадлежащие заданному отрезку.

У нас получается: x=2\pi, x=\frac{17\pi}{6}, x=3\pi, x=\frac{19\pi}{6}.

а) \pi R; \pm \frac{5\pi}{6}+2\pi R; R\in \mathbb{Z}. б) 2\pi; \frac{17\pi}{6}; 3\pi; \frac{19\pi}{6}.