Задание №972
Условие
а) Решите уравнение 9 \cdot 3^{2 \cos x}-10\sqrt{3} \cdot 3^{\cos x}+3=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left [ \frac{3\pi}{2}; 4\pi\right ].
Решение
а) После замены t=3^{\cos x} исходное уравнение примет вид 9t^{2}-10\sqrt{3}t+3=0. Корни этого уравнения t=\sqrt{3}, t=\frac{\sqrt{3}}{9}, Возвращаясь к переменной x, получим:
\left[\!\!\begin{array}{l} 3^{\cos x}=\sqrt{3}, \\ 3^{\cos x}=\frac{\sqrt{3}}{9}; \end{array}\right.\, \left[\!\!\begin{array}{l} 3^{\cos x}=3^{\tfrac{1}{2}}, \\ 3^{\cos x}=3^{-\tfrac{3}{2}}; \end{array}\right.\, \left[\!\!\begin{array}{l} \cos x=\frac{1}{2}, \\ \cos x=-\frac{3}{2}. \end{array}\right.
Второе уравнение совокупности не имеет корней. Решая первое уравнение, получим x= \pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb Z.
б) Запишем решение уравнения в виде x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb Z или x=\frac{\pi}{3}+2 \pi k, k \in \mathbb Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства \frac{3\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{3}+2 \pi n \leq 4\pi и \frac{3 \pi}{2} \leq \frac{\pi}{3}+2 \pi k \leq 4\pi.
Получим \frac{11}{12} \leq n \leq \frac{26}{12} и \frac{7}{12} \leq k \leq \frac{22}{12}.
Отсюда следует, что два целых значения n=1 и n=2 удовлетворяют неравенству \frac{11}{12} \leq n \leq \frac{26}{12}; k=1 — единственное целое k, удовлетворяющее неравенству \frac{7}{12} \leq k \leq \frac{22}{12}.
При n=1\enspace x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi \cdot 1=\frac{5\pi}{3}.
При n=2\enspace x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi \cdot 2=\frac{11\pi}{3}.
При k=1\enspace x=\frac{\pi}{3}+2 \pi \cdot 1=\frac{7\pi}{3}.
Итак, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3},\frac{11\pi}{3} — корни уравнения, принадлежащие промежутку \left [ \frac{3\pi}{2}; 4\pi\right ].
Ответ
а) x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb Z;
б) \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3},\frac{11\pi}{3}.