Задание №1168

а) Запишем уравнение в виде

5\cdot 0,2^{2 \cos x}-26\sqrt 5\cdot 0,2^{\cos x}+25=0. После замены t=0,2^{\cos x} исходное уравнение примет вид 5t^2-26\sqrt 5t+25=0. Корни этого уравнения t=5\sqrt 5, t=\frac1{\sqrt 5}. Возвращаясь к переменной x, получим:

\left[\!\!\begin{array}{l} 0,2^{\cos x}=5\sqrt 5 \\ 0,2^{\cos x}=\frac1{\sqrt 5}; \end{array}\right. \left[\!\!\begin{array}{l} 5^{-\cos x}=5^\tfrac32, \\ 5^{-\cos x}=5^{-\tfrac12}; \end{array}\right. \left[\!\!\begin{array}{l} \cos x=-\frac32, \\ \cos x=\frac12, \end{array}\right.

Первое уравнение совокупности не имеет корней. Решая второе уравнение, получим:

x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

б) Запишем решение уравнения в виде x=\frac\pi 3 +2\pi k, k \in \mathbb Z или x=-\frac\pi 3+2\pi n,n\in \mathbb Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства -\pi \leqslant -\frac{\pi} 3+2\pi n \leqslant \frac{3\pi }2 и -\pi \leqslant \frac\pi 3+2\pi k\leqslant \frac{3\pi }2.

Получим: -\frac13\leqslant n\leqslant \frac{11}{12} и -\frac23\leqslant k\leqslant \frac{7}{12}, откуда следует, что два целых значения n=0 и k=0 удовлетворяют соответствующим неравенствам.

При n=0\enspace x=\frac\pi 3+2\pi\cdot 0=\frac\pi 3.

При k=0\enspace x=-\frac\pi 3+2\pi\cdot 0=-\frac\pi 3.

Итак, \frac\pi 3 и -\frac\pi 3 — корни уравнения, принадлежащие промежутку \left[ -\pi ; \frac{3\pi }2\right].

а) \pm\frac\pi 3+2\pi n, n\in \mathbb Z;

б) -\frac\pi 3, \frac\pi 3;