Открытый банк заданий по теме описанная окружность. Задания B6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
В четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 75^{\circ}, 84^{\circ}, 51^{\circ}, 150^{\circ}. Найдите угол B этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
Угол B четырёхугольника ABCD описается на дугу AC, которая равна сумме дуг AD и DC. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он описается.
\angle B= (\smile AB+\smile DC):2= (51^{\circ}+150^{\circ}):2= 100,5^{\circ}.
Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Дуга AC составляет \frac14 дуги окружности и равна 90^{\circ}.
\angle ABC = \frac12 \smile AC = 45^{\circ}.
Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиусом 4, равен 30^{\circ}. Найдите сторону AB этого треугольника.
Угол B треугольника ABC вписан в окружность и опирается на дугу в 180^{\circ}. Угол B равен половине дуги, то есть 90^{\circ}. Поэтому треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом B.
AC — гипотенуза, AC=2R=2\cdot4=8.
\frac{AB}{AC}=\sin\angle C, \frac{AB}{8}=\sin30^{\circ}=\frac12, AB=8\cdot\frac12=4.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 116^{\circ}, угол CAD равен 72^{\circ}. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
.png)
Угол ABD можно найти, используя градусную меру дуги AD, на которую он опирается. Градусная мера дуги AD равна разности значений градусных мер дуг AC, содержащей точку D, и CD. Найдем эти значения:
Известно, что градусная мера дуги, на которую опирается угол в два раза больше значения самого угла.
Отсюда градусная мера дуги AС, содержащая точку D, равна:
\cup AC=2\cdot \angle ABC=2\cdot 116^{\circ}=232^{\circ}
Градусная мера дуги CD равна:
\cup CD=2\cdot \angle CAD=2\cdot 72^{\circ}=144^{\circ}
Тогда градусная мера дуги AD равна:
\cup AD=\cup AC-\cup CD=232^{\circ}-144^{\circ}=88^{\circ}
Искомый угол ABD равен:
\angle ABD=88^{\circ}:2=44^{\circ}
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 82^{\circ}, угол ABD равен 47^{\circ}. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
.png)
Угол CAD можно найти, используя градусную меру дуги CD, на которую он опирается. Градусная мера дуги CD равна разности значений градусных мер дуг AC и AD. Найдем эти значения:
Известно, что градусная мера дуги, на которую опирается угол в два раза больше значения самого угла.
Отсюда градусная мера дуги AС равна:
\cup AC=2\cdot\angle ABC=2\cdot 82^{\circ}=164^{\circ}
Градусная мера дуги AD равна:
\cup AD=2\cdot\angle ABD=2\cdot 47^{\circ}=94^{\circ}
Тогда градусная мера дуги CD равна:
\cup CD=\cup AC - \cup AD = 164^{\circ}-94^{\circ}=70^{\circ}
Искомый угол CAD равен:
\angle CAD=70^{\circ}:2=35^{\circ}
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол A равен 84. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов четырехугольника вписанного в окружность равна 180^{\circ}, следовательно:
\angle C=180^{\circ}-84^{\circ}=96^{\circ}
Закажите обратный звонок!