Задания по теме «Неравенства с параметром»

Данное неравенство равносильно двойному неравенству 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^{2}x-1) \leq 5.

Пусть \sin x=t, тогда получим неравенство:

-4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*), которое должно выполняться при всех значениях -1 \leq t \leq 1. Если a=0, то неравенство (*) выполняется для любого t\in [-1;1].

Пусть a \neq 0. Функция f(t)=t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t возрастает на промежутке [-1;1], так как производная f'(t)=3t^{2}+4at+5a^{2} > 0 при всех значениях t \in \mathbb{R} и a \neq 0 (дискриминант D < 0 и старший коэффициент больше нуля).

Неравенство (*) будет выполняться для t \in [-1;1] при условиях

\begin{cases} f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow \begin{cases} -1+2a-5a^{2} > -4, \\ 1+2a+5a^{2} \leq 1, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow \begin{cases} 5a^{2}-2a-3 < 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac{2}{5} \leq a < 0.

Итак, условие выполняется при -\frac{2}{5} \leq a \leq 0.

\left [ -\frac{2}{5}; 0 \right ]

Неравенство равносильно совокупности систем неравенств

\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end{cases} \\ \begin{cases}x<a, \\ x^2-3x+3a-7x+2a\leqslant0. \end{cases}\end{array}\right. \left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end{cases} \\ \begin{cases}x<a, \\ x^2-10x+5a\leqslant0; \end{cases}\end{array}\right. \left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end{cases} \\ \begin{cases}a>x, \\ a\leqslant -\frac{x^2}{5}+2x. \end{cases}\end{array}\right.

В системе координат Oxa построим графики функций a=x, a=x^2-4x, a=-\frac{x^2}{5}+2x.

Полученной совокупности удовлетворяют точки, заключенные между графиками функций a=x^2-4x, a=-\frac{x^2}{5}+2x на промежутке x\in [0;5] (заштрихованная область).

По графику определяем: исходное неравенство имеет единственное решение при a=-4 и a=5, так как в заштрихованной области будет единственная точка с ординатой a, равной -4 и равной 5.

-4; 5