Задание №231
Условие
При каких значениях параметра a неравенство
\log_{5}(4+a+(1+5a^{2}-\cos^{2}x) \cdot \sin x - a \cos 2x) \leq 1 выполняется при всех значениях x?
Решение
Данное неравенство равносильно двойному неравенству 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^{2}x-1) \leq 5.
Пусть \sin x=t, тогда получим неравенство:
-4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*), которое должно выполняться при всех значениях -1 \leq t \leq 1. Если a=0, то неравенство (*) выполняется для любого t\in [-1;1].
Пусть a \neq 0. Функция f(t)=t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t возрастает на промежутке [-1;1], так как производная f'(t)=3t^{2}+4at+5a^{2} > 0 при всех значениях t \in \mathbb{R} и a \neq 0 (дискриминант D < 0 и старший коэффициент больше нуля).
Неравенство (*) будет выполняться для t \in [-1;1] при условиях
\begin{cases} f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow \begin{cases} -1+2a-5a^{2} > -4, \\ 1+2a+5a^{2} \leq 1, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow \begin{cases} 5a^{2}-2a-3 < 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac{2}{5} \leq a < 0.
Итак, условие выполняется при -\frac{2}{5} \leq a \leq 0.
Ответ
\left [ -\frac{2}{5}; 0 \right ]