Задание №906

Угловой коэффициент касательной к графику функции y=x^3+3x^2-6x-2 в произвольной точке x_0 равен y'(x_0). Но y'=3x^2+6x-6, значит, y'(x_0)=3x_0^2+6x_0-6. Угловой коэффициент касательной y=3x-7, указанной в условии, равен 3. Поэтому находим такое значение x_0, что 3x_0^2+6x_0-6=3, 3x_0^2+6x_0-9=0. По формулам корней квадратного уравнения получаем, что либо x_0=-3, либо x_0=1.

Заметим, что y(-3)= (-3)^3+3\cdot(-3)^2-6\cdot(-3)-2=16, а y(1)=1^3+3\cdot1^2-6\cdot1-2=-4. Получаем две возможные точки касания: (-3; 16); (1; -4). Выясним, через какую из них проходит касательная y=3x-7. Координаты точки (-3; 16) не удовлетворяют уравнению касательной, так как равенство 16=3\cdot(-3)-7 не является верным. Но равенство -4=3\cdot1-7 является верным. Поэтому касательная проходит через точку (1; -4) с абсциссой, равной 1.