Задание №323
Условие
По боковой стенке промышленного цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После открытия крана вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=H_0-kt\sqrt{2gH_0}+\frac{g}{2}k^2t^2, где
H_0=45 м — начальный уровень воды;
t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана;
k=\frac{1}{50} — отношение площадей поперечных сечений крана и бака;
g = 10 м/с2 — ускорение свободного падения.
К какому моменту времени высота столба воды в баке составит не более 20 м? Ответ выразите в секундах.
Решение
H(t)=H_0-kt\sqrt{2gH_0}+\frac{g}{2}k^2t^2, используя данные H_0=25 м, k=\frac{1}{50}, g = 10 м/с2, H\leq20 м, получим
45-\frac{1}{50}\cdot t\sqrt{2\cdot10\cdot45}+ \frac{10}{2}\cdot \left ( \frac{1}{50} \right )^2\cdot t^2\leq20,
45-\frac{t}{50}\sqrt{900}+5\cdot\frac{1}{2500}\cdot t_2-20\leq0,
25-\frac{30t}{50}+\frac{t^2}{500}\leq0,
12\:500-300t+t^2\leq0,
t^2-300t+12\:500\leq0,
\frac{D}{4}= 150^2-12\:500= 22\:500-12\:500= 10\:000= 100^2,
t=150\pm100,
t_1=250,\;t_2=50.
50\leq t\leq250.