Задание №308
Условие
Прямая y=5x+17 является касательной к графику функции y=12x^2+bx+20. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Решение
Касательная y=5x+17 к параболе y=12x^2+bx+20 имеет с параболой единственную общую точку. Поэтому квадратное уравнение 5x+17=12x^2+bx+20 имеет единственное решение. Тем самым, дискриминант этого квадратного уравнения равен 0.
Преобразуем уравнение 5x+17=12x^2+bx+20 к стандартному виду 12x^2+(b-5)x+3=0.
D=(b-5)^2-4\cdot12\cdot3=0,
(b-5)^2=144,
b-5=\pm12,
b_1=17,\; b_2=-7.
При b=17 абсциссу точки касания находим из уравнения 12x^2+(b-5)x+3=0,
12x^2+12x+3=0.
Решая уравнение, получаем x=-\frac{6}{12}=-\frac12,\;-\frac12<0, поэтому b=17 не является искомым.
При b=-7 получаем уравнение 12x^2-12x+3=0,
x=\frac12,\;\frac12>0, значит при b=-7 абсцисса точки касания положительна.