Задание №200

ОДЗ:\enspace\begin{cases}2x+1\neq0,\\-x>0,\\ x+2>0; \end{cases}\enspace\begin{cases} x\neq\frac{1}{2},\\ x<0; \\ x>-2.\end{cases}

-2<x<-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}<x<0. Данное неравенство для всех x из ОДЗ равносильно неравенству \log_2\frac{x+2}{4}>-\frac{3}{2x+1}.

Решим последнее неравенство на каждом из промежутков ОДЗ.

1) -2<x<-\frac{1}{2}. Оценим левую и правую части неравенства:

\log_2\frac{x+2}{4}<\log_2\frac{3}{8}<0, -\frac{3}{2x+1}>0.

Так как для всех x из промежутка \left(-2;-\frac{1}{2}\right) выполняется неравенство \log_2\frac{x+2}{4}<0<-\frac{3}{2x+1}, то неравенство \log_2\frac{x+2}{4}>-\frac{3}{2x+1}, а следовательно, и исходное неравенство на промежутке \left(-2;-\frac{1}{2}\right) не имеет решений.

2) Если -\frac{1}{2}<x<0, то выполняется неравенства

\log_2\frac{x+2}{4}>\log_2\frac{3}{8}>\log_2\frac{1}{4}>-2.

-\frac{3}{2x+1}<-3, так как 0<2x+1<1. Значит, любое значение из промежутка \left(-\frac{1}{2};0\right) является решением неравенства \log_2\frac{x+2}{4}>-\frac{3}{2x+1}, а следовательно, и исходного неравенства.

Итак, множеством решений исходного неравенства является промежуток \left(-\frac{1}{2};0\right).

\left(-\frac{1}{2};0\right)