Задание №1190

ОДЗ: \begin{cases} x+0,5>0,\\5^{1-\sqrt x}-1\neq 0,\\x\geqslant 0; \end{cases} \begin{cases} x\geqslant 0,\\x\neq 1. \end{cases}

x\in[0; 1) \cup (1; +\infty).

\frac{4 \log_2(x+0,5)-5^{\sqrt x} \log_2(x+0,5)\cdot (5^{1-\sqrt x}-1)}{5^{1-\sqrt x}-1}\leqslant 0,

\frac{\log_2(x+0,5)(4-5^{\sqrt {x}+1-\sqrt x}+5^{\sqrt x})}{5^{1-\sqrt x}-1}\leqslant 0.

\frac{\log_2(x+0,5)(5^{\sqrt x}-5^0)}{5^{1-\sqrt x}-5^0}\leqslant 0.

Применим метод замены множителя, учитывая, что:

а) \log_{h(x)}f(x)\rightarrow (h(x)-1)(f(x)-1), тогда \log_2(x+0,5)\rightarrow (2-1)(x+0,5-1)=x-0,5.

б) h(x)^{p(x)}-h(x)^{q(x)}\rightarrow (h(x)-1)(p(x)-q(x)),

тогда 5^{\sqrt x}-5^0=(5-1)(\sqrt x-0)=4\sqrt x,

5^{1-\sqrt x}-5^0= (5-1)(1-\sqrt x-0)= 4(1-\sqrt x).

Неравенство примет вид \frac{(x-0,5)\cdot \sqrt x}{1-\sqrt x}\leqslant 0.

На ОДЗ имеем 0 \leqslant x \leqslant 0,5; x>1.

[0; 0,5] \cup (1; +\infty ).