Задание №992

Найдём область определения неравенства.

\begin{cases}x+4 >0, \\5^{x^{2}+1}-5^{x} \neq0; \end{cases}

\begin{cases} x > -4, \\ x^{2}+1 \neq x;\end{cases}

\begin{cases} x > -4, \\ x^{2}-x+1 \neq 0;\end{cases}

x > -4.

Для решения данного неравенства применяем метод интервалов.

а) Пусть f(x)= \frac{(|2x+1|-x-2) \cdot \left ( \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1 \right )}{5^{x^{2}+1}-5^{x}}.

б) Область определения функции f(x): D(f)=(-4;+\infty ).

в) Нули функции f(x): f(x)=0.

\frac{(|2x+1|-x-2) \cdot \left ( \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1 \right )}{5^{x^{2}+1}-5^{x}}=0\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \begin{cases} (|2x+1|-x-2) \cdot \left ( \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1 \right )=0, \\ x >-4; \end{cases}

\begin{cases} \left[\!\!\begin{array}{l} |2x+1|-x-2=0, \\ \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1=0 \end{array}\right. \\x > -4. \end{cases}

Уравнение |2x+1|-x-2=0 или |2x+1|=x+2 равносильно системе

\begin{cases} (2x+1)^2=(x+2)^2,\\x+2 \geq 0; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\left[\!\!\begin{array}{l}x=-1,\\x=1,\end{array}\right.\\ x+2 \geq 0;\end{cases} \Leftrightarrow x=\pm 1.

Уравнение \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1=0 имеет корень x=-1.

г) Промежутки знакопостоянства функции f(x). На каждом из промежутков (-4;-1), (-1;1), (1; +\infty ) функция f(x) непрерывна и сохраняет постоянный знак. Так как f(-2) > 0, f(0) > 0, f(2) < 0, то f(x) \geq 0 при всех значениях x \in (-4;1].

(-4;1].