Задание №1131
Условие
Найдите наибольшее значение функции y=(x+4)^2(x+1)+19 на отрезке [-5; -3].
Решение
Найдём производную исходной функции, используя формулу производной произведения:
y'= \left((x+4)^2\right)'(x+1)+(x+4)^2(x+1)'= (19)'= 2(x+ 4)(x+1)+(x+4)^2= (x+4)(2x+2+x+4)= (x+4)(3x+6)= 3(x+4)(x+2).
Отыщем нули производной: y'(x)=0;
(x+4)(x+2)=0;
x_1=-4, x_2=-2.
Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.
Из рисунка видно, что на отрезке [-5; -4] исходная функция возрастает, а на отрезке [-4; -3] убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке [-5; -3] достигается при x=-4 и равно y(-4)= (-4+4)^2(-4+1)+19= 19.