Задание №1119

Найдём производную исходной функции, используя формулу производной произведения:

y'= \left((x+9)^2\right)'(x+12)\,+ (x+9)^2(x+12)'-(14)'= 2(x+9)(x+12)+(x+9)^2= (x+9)(2x+24+x+9)= (x+9)(3x+33)= 3(x+9)(x+11).

Отыщем нули производной: y'(x)=0;

(x+9)(x+11)=0;

x_1=-11,  x_2=-9.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на отрезке [-11; 3].

Из рисунка видно, что на отрезке [-11; -9] исходная функция убывает, а на отрезке [-9; 3] возрастает.

Таким образом, наименьшее значение на отрезке [-11; 3] достигается при x=-9 и равно y(-9)= (-9+9)^2(-9+12)-14= -14.