Задание №1119
Условие
Найдите наименьшее значение функции y=(x+9)^2(x+12)-14 на отрезке [-11; 3].
Решение
Найдём производную исходной функции, используя формулу производной произведения:
y'= \left((x+9)^2\right)'(x+12)\,+ (x+9)^2(x+12)'-(14)'= 2(x+9)(x+12)+(x+9)^2= (x+9)(2x+24+x+9)= (x+9)(3x+33)= 3(x+9)(x+11).
Отыщем нули производной: y'(x)=0;
(x+9)(x+11)=0;
x_1=-11, x_2=-9.
Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на отрезке [-11; 3].
Из рисунка видно, что на отрезке [-11; -9] исходная функция убывает, а на отрезке [-9; 3] возрастает.
Таким образом, наименьшее значение на отрезке [-11; 3] достигается при x=-9 и равно y(-9)= (-9+9)^2(-9+12)-14= -14.