Задание №996
Условие
В трапеции ABCD точка M — середина основания AD, точка N выбрана на стороне AB так, что площадь четырёхугольника ANLM равна площади треугольника CLD, где L — точка пересечения отрезков CM и DN.
а) Докажите, что N — середина стороны AB.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции ABCD составляет площадь четырёхугольника ANLM, если BC=4, AD=6.
Решение
а) По условию S_{ANLM}=S_{CLD}, следовательно, S_{ANLM}+S_{LMD}=S_{CLD}+S_{LMD}, S_{ANLM}+S_{LMD}=S_{AND}.
S_{CLD}+S_{LMD}=S_{CMD}, значит, S_{AND}=S_{CMD}.
2S_{AND}=2S_{CMD}=S_{ACD}=S_{ABD} (треугольники ACD и ABD имеют общее основание AD и общую высоту).
Итак, 2S_{AND}=S_{ABD}=S_{AND}+S_{BND}, откуда следует, что S_{AND}=S_{BND}, а это означает, что точка N — середина стороны AB (у треугольников AND и BND общая высота). Что и требовалось доказать.
б) Пусть K — точка пересечения прямых CN и AD. \bigtriangleup AKN=\bigtriangleup BCN (по стороне и двум прилежащим углам). Поэтому S_{ABCD}=S_{CKD}.
Проведем MP \parallel KC, тогда из подобия треугольников \bigtriangleup NCL и \bigtriangleup LMP (\angle MLP =\angle NLC, \angle LPM=\angle CNL) \frac{CL}{LM}=\frac{CN}{MP}=\frac{KN}{MP}.
Из подобия треугольников \bigtriangleup KND и \bigtriangleup DMP (KN \parallel MP)
\frac{KN}{MP}=\frac{KD}{MD}=\frac{10}{3}. Значит, \frac{CL}{LM}=\frac{KN}{MP}=\frac{10}{3}; \frac{CL}{CM-CL}=\frac{10}{3};
3CL=10CM-10CL, 13CL=10CM, следовательно,
\frac{CL}{CM}=\frac{10}{13}=\frac{S_{CLD}}{S_{CMD}}, откуда S_{CLD}=\frac{10}{13}S_{CMD}.
\frac{S_{CMD}}{S_{CKD}}=\frac{MD}{KD}=\frac{3}{10}, откуда S_{CMD}=\frac{3}{10}S_{CKD}=\frac{3}{10}S_{ABCD}.
Подставляя S_{CMD}=\frac{3}{10}S_{ABCD} в равенство S_{CLD}=\frac{10}{13}S_{CMD},
получим S_{CLD}= \frac{10}{13}S_{CMD}= \frac{10}{13} \cdot \frac{3}{10}S_{ABCD}= \frac{3}{13}S_{ABCD}. Учитывая, что S_{ANLM}=S_{CLD}, окончательно получим S_{ANLM}=\frac{3}{13}S_{ABCD}.
Ответ
\frac{3}{13}