Задание №982
Условие
Дана правильная четырёхугольная пирамида SMNPQ с вершиной в точке S, сторона основания равна 5\sqrt{3}, а плоский угол при вершине пирамиды равен 60^\circ.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ NQ основания параллельно боковому ребру PS.
б) Найдите площадь сечения.
Решение
а) Обозначим через O точку пересечения диагоналей квадрата MNPQ.
В плоскости MSP проведем через точку O прямую OK \parallel PS. Точку K соединим с точкой N и точкой Q, получим сечение NKQ, которое является искомым, так как содержит OK \parallel PS и диагональ основания NQ, по признаку параллельности прямой и плоскости: плоскость NKQ параллельна ребру PS. Данное сечение представляет собой треугольник NKQ.
б) Треугольник NKQ — равнобедренный, NK=KQ. Это следует из равенства треугольников NKM и KMQ (по двум сторонам: MK — общая, NM=MQ и углу: \angle KMQ=\angle KMN). Точка O — середина NQ, NO=OQ. KO — медиана и, следовательно, высота. S_{NKQ}=\frac{1}{2}NQ \cdot KO.
Рассмотрим \bigtriangleup SMQ, \angle MSQ=60^\circ, значит \angle SMQ=\angle SQM=60^\circ, SM=SQ=MQ=5\sqrt{3}. \angle SOM=90^\circ, точка K — середина SM (так как OK — средняя линия \bigtriangleup PSM). Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. OK=\frac{1}{2}SM=\frac{5\sqrt{3}}{2}. NQ — диагональ квадрата со стороной 5\sqrt{3}. NQ=5\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}=5\sqrt{6}.
S_{NKQ}= \frac{1}{2}OK \cdot NQ= \frac{5\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{6}}{4}= \frac{75\sqrt{2}}{4}.
Ответ
\frac{75\sqrt{2}}{4}