Задание №965

а) Решим уравнение 2\log_{2}^{2}(2 \sin x)-3\log_{2}(2 \sin x)+1=0.

Обозначим \log_{2}(2\sin x)=t и решим получившееся уравнение.

2t^{2}-3t+1=0, t=\frac{3 \pm 1}{4}, t_1=1, t_2=\frac{1}{2}.

\left[\!\!\begin{array}{l} \log_{2}(2 \sin x)=1, \\ \log_{2}(2 \sin x)=\frac{1}{2}; \end{array}\right.

\left[\!\!\begin{array}{l} 2 \sin x=2, \\ 2 \sin x=\sqrt{2}; \end{array}\right.

\left[\!\!\begin{array}{l} \sin x=1, \\ \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}; \end{array}\right.

\left[\!\!\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, \\x=(-1)^{k} \frac{\pi}{4}+\pi k; \end{array}\right. n,k \in \mathbb Z

б) Корни, принадлежащие отрезку \left [ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right], найдём с помощью числовой окружности: x_{1}=2 \pi + \frac{\pi}{4}=\frac{9 \pi}{4}; x_{2}=2 \pi + \frac{\pi}{2}=\frac{5 \pi} {2}; x_3=3 \pi - \frac{\pi}{4}=\frac{11 \pi} {4}.

а) \frac{\pi}{2}+2\pi n;\,(-1)^{k} \frac{\pi}{4}+\pi k,\,n,k \in \mathbb Z;

б) \frac{9 \pi}{4};\,\frac{5 \pi}{2};\,\frac{11\pi}{4}