Задание №973
Условие
а) Решите уравнение \frac{\sin 2x}{\cos \left ( x+\dfrac{\pi}{2} \right )}=\sqrt{3}.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left [\frac{5 \pi}{2};4\pi \right ).
Решение
а) Применим формулу синуса двойного аргумента \sin 2x=2\sin x \cos x и формулу приведения \cos \left ( \frac{\pi}{2}+x \right )=-\sin x.
Уравнение примет вид \frac{2 \sin x \cos x}{-\sin x}=\sqrt{3}.
Учитывая, что \sin x \neq 0, x \neq \pi k, k \in \mathbb Z, получим:
2 \cos x=-\sqrt{3},
\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2},
x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n, n \in \mathbb Z.
б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку \left [\frac{5 \pi}{2};4\pi \right ), с помощью числовой окружности.
.png)
x=2\pi+\frac{5\pi}{6}=\frac{17\pi}{6},
x=4\pi-\frac{5\pi}{6}=\frac{19\pi}{6}.
Ответ
а) \pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n, n \in \mathbb Z;
б) \frac{17\pi}{6};\frac{19\pi}{6}.