Задание №958
Условие
а) Решите уравнение 3\sqrt{3}\cos \left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-3=2\sin^2 x.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2\pi;3\pi].
Решение
а) Запишем исходное уравнение в виде 2\sin^2 x-3\sqrt{3}\sin x+3=0.
Решая это уравнение как квадратное относительно \sin x, получим
(\sin x)_{1,2}= \frac{3\sqrt{3}\pm\sqrt{27-24}}{4}= \frac{3\sqrt{3}\pm\sqrt{3}}{4}.
Значит, (\sin x)_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}, откуда x=\frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in \mathbb{Z} или x=\frac{2\pi}{3}+2\pi m, m \in \mathbb{Z}.
Уравнение (\sin x)_{2}=\sqrt{3} корней не имеет.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [2\pi; 3\pi].
.png)
Получим числа:
2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3};
3\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{8\pi}{3}.
Ответ
а) \frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in \mathbb{Z}, \frac{2\pi}{3}+2\pi m, m \in \mathbb{Z};
б) \frac{7\pi}{3},\frac{8\pi}{3}.