Задание №955
Условие
Найдите наибольшее значение функции y=18\cos x+9\sqrt3 x-3\sqrt3 \pi+16 на отрезке \left [ 0; \frac{\pi}{2} \right ].
Решение
Найдём производную исходной функции: y'=-18\sin x+9\sqrt3. Вычислим нули производной: y'=0.
-18\sin x+9\sqrt3=0,
\sin x=\frac{\sqrt3}{2}.
На отрезке \left [ 0; \frac{\pi}{2} \right ] этому уравнению удовлетворяет только x=\frac{\pi}{3}. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на рассматриваемом отрезке.
.png)
Из рисунка видно, что при x<\frac{\pi}{3} выполняется y'(x)>0 и исходная функция возрастает. Аналогично при x>\frac{\pi}{3} выполняется y'(x)<0 и исходная функция убывает. Значит, наибольшее значение достигается при x=\frac{\pi}{3} и равно y\left ( \frac{\pi}{3} \right )= 18\cos\frac{\pi}{3}+9\sqrt3\cdot\frac{\pi}{3}-3\sqrt3 \pi+16= 9+16=25.